2022届全国100所名校最新高考模拟示范卷 22·(新高考)ZX·MNJ·数学·N 数学(三)3答案

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19.【命题意图】本题考查数列的通项公式及前n项和，要求考生掌握an与Sn的递推关系求an及利用错位相减法求数列的前n项和
【解题分析】（1）当n=1时，a+a1=2S1，解得a1=1或a1=0（舍去），
1分当n≥2时，a2-1+an-1=2Sn-1，
2分所以a2n+an-（a2-1+an-1）=2Sn-2Sn-1，化简得（an+an-1）（an-an-1-1）=0
…3分因为an>0，所以an=an-1+1，
4分所以数列{an}是公差及首项均为1的等差数列，故an=n
5分
（2）由（1）知Tn=21×1+22×2+…+2×（n-1）+n，①…
6分所以2Tn=2×1+2-1×2+…+22×（n-1）+2×n，②…………………
7分
②一①得Tn=2+2n-1+2n2+…+22+2-n
9分

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