2022年黑龙江普通高中高三模拟联合考试（223588D）数学试卷

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已知圆，直线。

（Ⅰ）求证：直线与圆C恒有两个交点；

（Ⅱ）求出直线被圆C截得的最短弦长，并求出截得最短弦长时的的值；

（Ⅲ）设直线与圆C的两个交点为M，N，且（点C为圆C的圆心），求直线的方程。

【答案】(1)见解析；(2) ， (3)

【解析】试题分析：（1）直线可化为，证明直线过圆的内部定点，即可证明结论；(2)弦的中点与圆心连线与弦垂直时弦长最小，利用勾股定理可得结果；(3) 设与的夹角为，由，可得，从而，可得点 到直线的距离为 ，利用点到直线距离公式求出列方程求得，从而可得直线的方程.

试题解析：（1）直线可化为，因此直线过定点A（2，-1），

显然该点A在圆的内部

所以直线与圆C恒有两个交点。

(2)圆心C（1，-2），半径

所以弦长

此时

所以。

(3)设与的夹角为，因为

所以，从而，所以点C到直线的距离为1

即，所以

所以直线的方程是。