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已知数列,满足,数列前项和为.
(1)若数列是首项为正数,公比为的等比数列.
①求证:数列为等比数列;
②若对任意恒成立,求的值;
(2)已知为递增数列,即.若对任意,数列中都存在一项使得,求证:数列为等差数列.
(1) ①证明见解析;②.
(2)证明见解析.
【解析】分析:(1)①由题意得,又得,故可得结论成立.②由题意可得对任意恒成立,结合反证法可得.(2)根据可得,再根据数列的单调性可得,故得,从而可证得,所以数列为等差数列.
详解:(1)①∵数列是公比为的等比数列,
∴.
又为定值,
∴数列为等比数列.
②由题意得,即 ,
整理得对任意恒成立,
∵,
∴.
否则若,,则当时,,与题意矛盾.
故.
(2)因为数列中都存在一项使得,
即.
又数列为递增数列,
所以,
所以,
因此,
所以数列为等差数列.
;
如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)由面面垂直性质定理得AC⊥平面BCFE,因此BF⊥AC.再根据平几知识得BF⊥FC.最后根据线面垂直判定定理得结论(2)过点F作FQ⊥AK于Q,由三垂线定理得BQ⊥AK.即∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.再根据解三角形得二面角B-AD-F的平面角的余弦值
试题解析:(1)证明 延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC=BC,且AC⊥BC,
所以AC⊥平面BCFE,因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK,且CK∩AC=C,CK,AC都在平面ACFD内,
所以BF⊥平面ACFD.
(2)过点F作FQ⊥AK于Q,连接BQ.
因为BF⊥平面ACFD,AK在平面ACFD内,所以BF⊥AK,
则AK⊥平面BQF,BQ在平面BQF内,所以BQ⊥AK.
所以∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.
在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,得FQ=.
在Rt△BQF中,FQ=,BF=,得cos∠BQF=.
所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值为.
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