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2022-2023学年高一数学人教A2019必修第一册同步讲义第8讲等式性质与不等式性质6种题型

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2022-2023学年高一数学人教A2019必修第一册同步讲义第8讲等式性质与不等式性质6种题型

1、第8讲 等式性质与不等式性质6种题型 【考点分析】考点一:两个实数的加、乘运算结果的符号的性质:两个同号实数相加,和的符号不变,即:;两个同号实数相乘,积是正数,即:;两个异号实数相乘,积是负数,即:任何实数的平方为非负数,0的平方为0,即:,.考点二:比较两个实数大小的方法作差法:对任意两个实数,1.;2.;3.作商法:任意两个值为正的代数式、,可以作商后比较与1的关系,进一步比较与的大小.1.;2.;3.中间量法:若且,则,一般选择0或1为中间量.考点三:不等式的性质基本性质有:1.对称性:2.传递性:3.可加性:(cR)4.可乘性:ab,运算性质1.可加法则:2.可乘法则:3.可乘方性:

2、【题型目录】题型一:作差法比较两数(式)的大小题型二:作商法比较两数(式)的大小题型三:利用不等式的性质判断命题真假题型四:利用不等式的性质证明不等式题型五:利用不等式的性质比较大小题型六:利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一:作差法比较两数(式)的大小【例1】(2022安徽高一期中)已知,则的大小关系为()ABCD无法确定【答案】B【解析】【分析】作差可得x-y的表达式,根据题意,分析可得x-y的正负,即可得答案.【详解】,因为,所以,又,所以,即.故选:B【例2】(2022全国高一课时练习)若,则下列不等式中一定成立的是()ABCD【答案】C【解析】【分析】根据不等式的

3、性质,对选项逐一判断【详解】对于A,因为,故,即,故A错;对于B,不确定符号,取则,故B错误;对于C, ,因为,故,即,故C正确;对于D,因为,故,即,故D错误故选:C【例2】(2023全国高三专题练习)已知,则,的大小关系为()ABCD【答案】B【解析】【分析】通过作差法,确定符号,排除D选项;通过作差法,确定符号,排除C选项;通过作差法,确定符号,排除A选项;【详解】由,且,故;由且,故;且,故.所以,故选:B.【题型专练】1.(2021河南濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习(文)设,则P、Q的大小为()ABCD【答案】A【解析】【分析】利用作差法计算可得;【详解】解:因为,所以,所以;故

4、选:A2.(2022新疆克孜勒苏高一期中)已知 , ,则 _ (填“”或“”)【答案】【解析】【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为,所以.故答案为:.3.(2022广西高一阶段练习)(1)比较与的大小;(2)已知,求证:【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求差法进行大小比较即可;(2)求差法去证明即可解决.【详解】(1)由,可得(2),4.(2022全国高一课时练习)已知,试比较 的大小.【答案】【解析】【分析】应用作差法:,结合已知条件,即可确定大小关系.【详解】 ,即.5.(2021江苏高一单元测试)证明不等式:(1)设,求证:;(2)设,求证:.【答案】(1)证

5、明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)利用作差法运算即可得证;(2)利用作差法运算即可得证.【详解】证明:(1)因为,因为,所以,所以,所以;(2)因为,所以.题型二:作商法比较两数(式)的大小【例1】(2021全国高一专题练习),则的大小关系为_【答案】【分析】用作商法比较的大小关系,化简即可得结果.【详解】因为, 则 由 所以 故答案为:【例2】(2017上海市宝山区海滨中学高一期中)如果,那么,从小到大的顺序是_【答案】【分析】三个式子很明显都是负数,所以可通过作商和1比较判断大小。【详解】因为三个式子很明显都是负数,所以,所以;同理,所以。综上:故答案为:【点睛】此题考查比较大小,一般可以考虑作差,作商等方法进行比较,属于简单题目。【例3】(2023全国高三专题练习)设,比较与的大小【答案】

2.百米赛跑中,一名运动员在20m处的瞬时速度为8m/s,12.5s末到达终点的瞬时速度为9m/s,则他在全程的平均速度是A.7.5m/sB.8m/sC.8.5m/sD.9m/s

1、第8讲 等式性质与不等式性质6种题型 【考点分析】考点一:两个实数的加、乘运算结果的符号的性质:两个同号实数相加,和的符号不变,即:;两个同号实数相乘,积是正数,即:;两个异号实数相乘,积是负数,即:任何实数的平方为非负数,0的平方为0,即:,.考点二:比较两个实数大小的方法作差法:对任意两个实数,1.;2.;3.作商法:任意两个值为正的代数式、,可以作商后比较与1的关系,进一步比较与的大小.1.;2.;3.中间量法:若且,则,一般选择0或1为中间量.考点三:不等式的性质基本性质有:1.对称性:2.传递性:3.可加性:(cR)4.可乘性:ab,运算性质1.可加法则:2.可乘法则:3.可乘方性:

2、【题型目录】题型一:作差法比较两数(式)的大小题型二:作商法比较两数(式)的大小题型三:利用不等式的性质判断命题真假题型四:利用不等式的性质证明不等式题型五:利用不等式的性质比较大小题型六:利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一:作差法比较两数(式)的大小【例1】(2022安徽高一期中)已知,则的大小关系为()ABCD无法确定【答案】B【解析】【分析】作差可得x-y的表达式,根据题意,分析可得x-y的正负,即可得答案.【详解】,因为,所以,又,所以,即.故选:B【例2】(2022全国高一课时练习)若,则下列不等式中一定成立的是()ABCD【答案】C【解析】【分析】根据不等式的

3、性质,对选项逐一判断【详解】对于A,因为,故,即,故A错;对于B,不确定符号,取则,故B错误;对于C, ,因为,故,即,故C正确;对于D,因为,故,即,故D错误故选:C【例2】(2023全国高三专题练习)已知,则,的大小关系为()ABCD【答案】B【解析】【分析】通过作差法,确定符号,排除D选项;通过作差法,确定符号,排除C选项;通过作差法,确定符号,排除A选项;【详解】由,且,故;由且,故;且,故.所以,故选:B.【题型专练】1.(2021河南濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习(文)设,则P、Q的大小为()ABCD【答案】A【解析】【分析】利用作差法计算可得;【详解】解:因为,所以,所以;故

4、选:A2.(2022新疆克孜勒苏高一期中)已知 , ,则 _ (填“”或“”)【答案】【解析】【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为,所以.故答案为:.3.(2022广西高一阶段练习)(1)比较与的大小;(2)已知,求证:【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求差法进行大小比较即可;(2)求差法去证明即可解决.【详解】(1)由,可得(2),4.(2022全国高一课时练习)已知,试比较 的大小.【答案】【解析】【分析】应用作差法:,结合已知条件,即可确定大小关系.【详解】 ,即.5.(2021江苏高一单元测试)证明不等式:(1)设,求证:;(2)设,求证:.【答案】(1)证

5、明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)利用作差法运算即可得证;(2)利用作差法运算即可得证.【详解】证明:(1)因为,因为,所以,所以,所以;(2)因为,所以.题型二:作商法比较两数(式)的大小【例1】(2021全国高一专题练习),则的大小关系为_【答案】【分析】用作商法比较的大小关系,化简即可得结果.【详解】因为, 则 由 所以 故答案为:【例2】(2017上海市宝山区海滨中学高一期中)如果,那么,从小到大的顺序是_【答案】【分析】三个式子很明显都是负数,所以可通过作商和1比较判断大小。【详解】因为三个式子很明显都是负数,所以,所以;同理,所以。综上:故答案为:【点睛】此题考查比较大小,一般可以考虑作差,作商等方法进行比较,属于简单题目。【例3】(2023全国高三专题练习)设,比较与的大小【答案】

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