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高考数学一轮复习讲义微专题《35形如向量AD=xAC+yAB条件的应用》(含详解)

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高考数学一轮复习讲义微专题《35形如向量AD=xAC+yAB条件的应用》(含详解)

1、微专题35 形如条件的应用一、基础知识:1、平面向量基本定理:若平面上两个向量不共线,则对平面上的任一向量,均存在唯一确定的,(其中),使得。其中称为平面向量的一组基底。(1)不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量(2)唯一性:若且,则2、“爪”字型图及性质:(1)已知为不共线的两个向量,则对于向量,必存在,使得。则三点共线当,则与位于同侧,且位于与之间当,则与位于两侧 时,当,则在线段上;当,则在线段延长线上(2)已知在线段上,且,则3、中确定方法(1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示,进而确定(2)若题目中某些向量的数量积已知,则对于向量方程,可考虑两边对

2、同一向量作数量积运算,从而得到关于的方程,再进行求解(3)若所给图形比较特殊(矩形,特殊梯形等),则可通过建系将向量坐标化,从而得到关于的方程,再进行求解二、典型例题:例1:在中,为边的中点,为的中点,过点作一直线分别交于点,若,则的最小值是( )A. B. C. D. 思路:若要求出的最值,则需从条件中得到的关系。由共线可想到“爪”字型图,所以,其中,下面考虑将的关系转为的关系。利用条件中的向量关系:且,所以,因为,所以,由平面向量基本定理可得:,所以,所以,而,所以答案:A例2:如图,在中,是上的一点,若,则实数的值为( )A. B. C. D. 思路:观察到三点共线,利用“爪”字型图,可

3、得,且,由可得,所以,由已知可得:,所以答案:C例3:在平面内,已知,设,则等于( )A. B. C. D. 思路:所求为,可以考虑对两边同时对同一向量作数量积,从而得到的方程,解出,例如两边同对作数量积,可得:,因为,所以有,同理,两边对作数量积,可得:,即,所以,通过作图可得或,从而,代入可得:答案:B小炼有话说:(1)当向量等式中的向量系数含参时,可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程。若要解出系数,则可根据字母的个数确定构造方程的数量(2)本题也可通过判定,从而想到建立坐标系通过坐标解出,进而求出例4:如图,在正六边形中,点是内(包括边界)的一个动点,设,则的取值范围

4、是( )A. B. C. D. 思路:因为为动点,所以不容易利用数量积来得到的关系,因为六边形为正六边形,所以建立坐标系各个点的坐标易于确定,可得:,则,所以设,则由可得:,因为在内,且,所以所满足的可行域为,代入可得:,通过线性规划可得:答案:例5:已知,则与的夹角的余弦值为_思路:若要求与的夹角,可联想到,所以只需确定与,由一方面可以两边同时对作数量积得到,另一方面等式两边可以同时取模长的平方计算出,进而求出解:且 答案:例6:如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为,与的夹角为,且,若,则的值为_思路一:由图像可得:,由此条件中可提供的模长及相互的夹角,若要求得,可考虑求出的值。则需要两个

5、方程。对两边同时对作数量积,即,由,可得:,再将两边对作数量积,则,即,所以,即思路二:从图形中可想到建系,得到的坐标,从而利用坐标可求得的值:如图建系可得:,所以,从而可得,所以答案:6例7:已知在中,为的外心,且,则_ 思路:通过观察条件发现很难从几何方向直接求,从而考虑利用计算数量积,如何利用这个条件呢?对于已知可以考虑等式两边对同一向量作数量积,从而得到关于的实数方程。由于是外心,进而在上的投影为各边的中点,所以可用数量积的投影定义计算出,结合所求,可确定两边同时与作数量积即可。解:由,可得:(*)在上的投影向量为(为中点) ,同理:所以(*)变形为: 小炼有话说:对于形如,若想得到关于的方程,可以考虑对同一向量作数量积即可,而向量的选择要尽量能和等式中的向量计算出数量积。例8:给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.思路:所求的最值,可考虑对等号两边对同一向量作数量积,从而转化为的等式:即即,从而可发现,所以只需求得的最大值,其中根据扇形的特点可知的终点为的中点,即,所以,只需最大即可。可知重合时,所以的最

4.在一个大雾天,一辆小汽车以20m/s的速度行驶在平直的公路上,突然发现正前方x0=20m处有一辆大卡车以10m/s的速度同方向匀速行驶,小汽车司机经0.5s反应时间后立即刹车,从小汽车司机开始刹车时计时,3s后卡车也开始刹车,两者的v-t图像如图所示,下列说法正确的是A.两车没有追尾,两车的最近距离为10mB.两车没有追尾,并且两车都停下时相距20mC.小汽车与大卡车一定会追尾D.由于在减速时大卡车的加速度大小大于小汽车的加速度大小,导致两车在t==4s时追尾

1、微专题35 形如条件的应用一、基础知识:1、平面向量基本定理:若平面上两个向量不共线,则对平面上的任一向量,均存在唯一确定的,(其中),使得。其中称为平面向量的一组基底。(1)不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量(2)唯一性:若且,则2、“爪”字型图及性质:(1)已知为不共线的两个向量,则对于向量,必存在,使得。则三点共线当,则与位于同侧,且位于与之间当,则与位于两侧 时,当,则在线段上;当,则在线段延长线上(2)已知在线段上,且,则3、中确定方法(1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示,进而确定(2)若题目中某些向量的数量积已知,则对于向量方程,可考虑两边对

2、同一向量作数量积运算,从而得到关于的方程,再进行求解(3)若所给图形比较特殊(矩形,特殊梯形等),则可通过建系将向量坐标化,从而得到关于的方程,再进行求解二、典型例题:例1:在中,为边的中点,为的中点,过点作一直线分别交于点,若,则的最小值是( )A. B. C. D. 思路:若要求出的最值,则需从条件中得到的关系。由共线可想到“爪”字型图,所以,其中,下面考虑将的关系转为的关系。利用条件中的向量关系:且,所以,因为,所以,由平面向量基本定理可得:,所以,所以,而,所以答案:A例2:如图,在中,是上的一点,若,则实数的值为( )A. B. C. D. 思路:观察到三点共线,利用“爪”字型图,可

3、得,且,由可得,所以,由已知可得:,所以答案:C例3:在平面内,已知,设,则等于( )A. B. C. D. 思路:所求为,可以考虑对两边同时对同一向量作数量积,从而得到的方程,解出,例如两边同对作数量积,可得:,因为,所以有,同理,两边对作数量积,可得:,即,所以,通过作图可得或,从而,代入可得:答案:B小炼有话说:(1)当向量等式中的向量系数含参时,可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程。若要解出系数,则可根据字母的个数确定构造方程的数量(2)本题也可通过判定,从而想到建立坐标系通过坐标解出,进而求出例4:如图,在正六边形中,点是内(包括边界)的一个动点,设,则的取值范围

4、是( )A. B. C. D. 思路:因为为动点,所以不容易利用数量积来得到的关系,因为六边形为正六边形,所以建立坐标系各个点的坐标易于确定,可得:,则,所以设,则由可得:,因为在内,且,所以所满足的可行域为,代入可得:,通过线性规划可得:答案:例5:已知,则与的夹角的余弦值为_思路:若要求与的夹角,可联想到,所以只需确定与,由一方面可以两边同时对作数量积得到,另一方面等式两边可以同时取模长的平方计算出,进而求出解:且 答案:例6:如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为,与的夹角为,且,若,则的值为_思路一:由图像可得:,由此条件中可提供的模长及相互的夹角,若要求得,可考虑求出的值。则需要两个

5、方程。对两边同时对作数量积,即,由,可得:,再将两边对作数量积,则,即,所以,即思路二:从图形中可想到建系,得到的坐标,从而利用坐标可求得的值:如图建系可得:,所以,从而可得,所以答案:6例7:已知在中,为的外心,且,则_ 思路:通过观察条件发现很难从几何方向直接求,从而考虑利用计算数量积,如何利用这个条件呢?对于已知可以考虑等式两边对同一向量作数量积,从而得到关于的实数方程。由于是外心,进而在上的投影为各边的中点,所以可用数量积的投影定义计算出,结合所求,可确定两边同时与作数量积即可。解:由,可得:(*)在上的投影向量为(为中点) ,同理:所以(*)变形为: 小炼有话说:对于形如,若想得到关于的方程,可以考虑对同一向量作数量积即可,而向量的选择要尽量能和等式中的向量计算出数量积。例8:给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.思路:所求的最值,可考虑对等号两边对同一向量作数量积,从而转化为的等式:即即,从而可发现,所以只需求得的最大值,其中根据扇形的特点可知的终点为的中点,即,所以,只需最大即可。可知重合时,所以的最

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