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高考数学二轮复习培优专题第21讲抛物线定义及性质常考5种题型

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高考数学二轮复习培优专题第21讲抛物线定义及性质常考5种题型

1、第21讲 抛物线定义及性质常考5种题型【考点分析】考点一:抛物线定义 平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线考点二:抛物线焦点弦焦半径公式 图1-3-1 图1-3-2焦半径:, 焦点弦:三角形面积: 【题型目录】题型一:抛物线的定义及方程题型二:抛物线的性质题型三:抛物线焦点弦焦半径题型四:有关三角形面积问题题型五:抛物线中的最值问题【典型例题】题型一:抛物线的定义及方程【例1】已知抛物线的焦点为F,抛物线上一点满足,则()A1B2CD【答案】A【分析】根据抛物线焦半径公式列出方程,求出的值.【详解】由抛物线定义知:

2、,所以,解得:.故选:A【例2】抛物线的准线方程是()ABCD【答案】B【分析】先将抛物线方程化成标准式,即可解出【详解】可化为,所以抛物线的准线方程为故选:B【例3】在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为,是抛物线上的点,若的外接圆与抛物线的准线相切,且该圆面积为,则()ABCD【答案】D【分析】分析可知的外心的横坐标为,求出点到抛物线的准线的距离,即为外接圆的半径,再利用圆的面积公式可求得的值.【详解】抛物线的焦点为,易知的外心的横坐标为,点到抛物线的准线的距离为,所以,的外接圆的半径为,由题意可得,因为,解得.故选:D.【例4】数学与建筑的结合造就建筑艺术,如图,吉林大学的校门是一抛物线形水

3、泥建筑物,若将校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线的一部分,其焦点坐标为,校门最高点到地面距离约为18米,则校门位于地面宽度最大约为()A18米B21米C24米D27米【答案】C【分析】将抛物线方程化为标准式,根据焦点坐标求出的值,即可得到抛物线方程,再令求出的值,即可得解.【详解】解:抛物线,即,因为抛物线的焦点坐标为,所以,所以,所以抛物线即为,令,则,解得,所以校门位于地面宽度最大约为米.故选:C【例5】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,分别过A、B两点作准线的垂线,垂足分别为两点,以线段为直径的圆C过点,则圆C的方程为()ABCD【答案】B【分析】求出抛物线焦点坐标、

4、准线方程,设出直线AB的方程,与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标,再结合圆过的点求解作答.【详解】抛物线的焦点,准线:,设,令弦AB的中点为E,而圆心C是线段的中点,又,即有,显然直线AB不垂直于y轴,设直线,由消去x得:,则,点E的纵坐标为,于是得圆C的半径,圆心,而圆C过点,则有,即,解得,因此圆C的圆心,半径,圆C的方程为.故选:B【题型专练】1.已知抛物线,其焦点为F,准线为l,则下列说法正确的是()A焦点F到准线l的距离为1B焦点F的坐标为C准线l的方程为D对称轴为x轴【答案】C【解析】将抛物线方程化为标准形式,表示焦点坐标和准线,即得答案.【详解】将抛物线化为标准方程所以焦点F的坐标

5、为,准线l的方程为,焦点F到准线l的距离为,对称轴为y轴故选:C【点睛】本题考查由抛物线的标准方程表示其简单几何性质,属于简单题.2.抛物线的焦点为F,点M在C上,则M到y轴的距离是()A4B8C10D12【答案】B【分析】设,由抛物线的定义,即,即可求出答案.【详解】抛物线的准线方程为:设,由抛物线的定义知:,即,即,所以M到y轴的距离是.故选:B.3.已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点, 若, 则 (为坐标原点)的面积是()AB1C2D4【答案】A【分析】由题可得,利用抛物线的定义可得,利用三角形的面积公式结合条件即得,【详解】由题可得,因为,所以,所以为坐标原点)的面积是.故选:A.4(2022广东广州高二期末)已知圆与抛物线的准线相切,则()A1B2C4D8【答案】C【分析】写出抛物线的准线方程,由圆的方程得圆心和半径,由已知得圆心到准线的距离为半径,从而求出.【详解】因

15.某半径为r类地行星表面有一单色光源P,其发出的各方向的光经过厚度为(2-1)r、折射率为n=2的均匀行星大气层(图中阴彤部分)射向太空。取包含P和行星中心O的某一截面如图所示,设此截面内一卫星探测器在半径为4r3+1的轨道上绕行星做匀速圆周运动,忽略行星表面对光的反射,已知sin115^=6-24,15^=6+24,则A.大气外表面发光区域在截面上形成的弧长为2r3B.若卫星探测器运行时,只能在轨道上某部分观测到光,则这部分轨道弧长为3(4r3+1)C.若该行星没有大气层,则卫星探测器运行时,在轨道上能观测到光轨道弧长将变大D.若探测器公转方向和行星自转的方向相同,探测器接收到光的频率一定大于光源发出的频率

1、第21讲 抛物线定义及性质常考5种题型【考点分析】考点一:抛物线定义 平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线考点二:抛物线焦点弦焦半径公式 图1-3-1 图1-3-2焦半径:, 焦点弦:三角形面积: 【题型目录】题型一:抛物线的定义及方程题型二:抛物线的性质题型三:抛物线焦点弦焦半径题型四:有关三角形面积问题题型五:抛物线中的最值问题【典型例题】题型一:抛物线的定义及方程【例1】已知抛物线的焦点为F,抛物线上一点满足,则()A1B2CD【答案】A【分析】根据抛物线焦半径公式列出方程,求出的值.【详解】由抛物线定义知:

2、,所以,解得:.故选:A【例2】抛物线的准线方程是()ABCD【答案】B【分析】先将抛物线方程化成标准式,即可解出【详解】可化为,所以抛物线的准线方程为故选:B【例3】在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为,是抛物线上的点,若的外接圆与抛物线的准线相切,且该圆面积为,则()ABCD【答案】D【分析】分析可知的外心的横坐标为,求出点到抛物线的准线的距离,即为外接圆的半径,再利用圆的面积公式可求得的值.【详解】抛物线的焦点为,易知的外心的横坐标为,点到抛物线的准线的距离为,所以,的外接圆的半径为,由题意可得,因为,解得.故选:D.【例4】数学与建筑的结合造就建筑艺术,如图,吉林大学的校门是一抛物线形水

3、泥建筑物,若将校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线的一部分,其焦点坐标为,校门最高点到地面距离约为18米,则校门位于地面宽度最大约为()A18米B21米C24米D27米【答案】C【分析】将抛物线方程化为标准式,根据焦点坐标求出的值,即可得到抛物线方程,再令求出的值,即可得解.【详解】解:抛物线,即,因为抛物线的焦点坐标为,所以,所以,所以抛物线即为,令,则,解得,所以校门位于地面宽度最大约为米.故选:C【例5】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,分别过A、B两点作准线的垂线,垂足分别为两点,以线段为直径的圆C过点,则圆C的方程为()ABCD【答案】B【分析】求出抛物线焦点坐标、

4、准线方程,设出直线AB的方程,与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标,再结合圆过的点求解作答.【详解】抛物线的焦点,准线:,设,令弦AB的中点为E,而圆心C是线段的中点,又,即有,显然直线AB不垂直于y轴,设直线,由消去x得:,则,点E的纵坐标为,于是得圆C的半径,圆心,而圆C过点,则有,即,解得,因此圆C的圆心,半径,圆C的方程为.故选:B【题型专练】1.已知抛物线,其焦点为F,准线为l,则下列说法正确的是()A焦点F到准线l的距离为1B焦点F的坐标为C准线l的方程为D对称轴为x轴【答案】C【解析】将抛物线方程化为标准形式,表示焦点坐标和准线,即得答案.【详解】将抛物线化为标准方程所以焦点F的坐标

5、为,准线l的方程为,焦点F到准线l的距离为,对称轴为y轴故选:C【点睛】本题考查由抛物线的标准方程表示其简单几何性质,属于简单题.2.抛物线的焦点为F,点M在C上,则M到y轴的距离是()A4B8C10D12【答案】B【分析】设,由抛物线的定义,即,即可求出答案.【详解】抛物线的准线方程为:设,由抛物线的定义知:,即,即,所以M到y轴的距离是.故选:B.3.已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点, 若, 则 (为坐标原点)的面积是()AB1C2D4【答案】A【分析】由题可得,利用抛物线的定义可得,利用三角形的面积公式结合条件即得,【详解】由题可得,因为,所以,所以为坐标原点)的面积是.故选:A.4(2022广东广州高二期末)已知圆与抛物线的准线相切,则()A1B2C4D8【答案】C【分析】写出抛物线的准线方程,由圆的方程得圆心和半径,由已知得圆心到准线的距离为半径,从而求出.【详解】因

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