第六章 专题探究课三 高考中数列问题的热点题型-2020高考理科数学【步步高】大一轮考点专项练
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6.已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝anlog12)an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋1<0恒成立，试求m的取值范围.
解 (1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，
代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.
∴a2＋a4＝20，
∴a1q＋a1q3＝20，a3＝a1q2＝8，)解得q＝2，a1＝2)或q＝\f(12a1＝32.
又{an}单调递增，∴q＝2，a1＝2.)∴an＝2n.
(2)bn＝2n·log12)2n＝－n·2n，
∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②
①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1
＝2（1－2n）1－2－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2.
由Sn＋(n＋m)an＋1<0，
得2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1<0对任意正整数n恒成立，
∴m·2n＋1<2－2n＋1，即m<12n－1对任意正整数n恒成立.∵12n－1>－1，
∴m≤－1，即m的取值范围是(－∞，－1].
专题探究课三 高考中数列问题的热点题型 1.(2015·重庆卷)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝. (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn. 解 (1)设{an}的公差为d，则由已知条件得 a1＋2d＝2，3a1＋d＝， 化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝， 解得a1＝1，d＝， 故{an}的通项公式a n＝1＋，即an＝. (2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8. 设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，[来源:Z,xx,k.Com] 故{bn}的前n项和 Tn＝＝＝2n－1. 2.(2017·东北三省四校模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a1 3成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)依题意得 解得∴an＝2n＋1. (2)∵＝3n－1，∴bn＝an·3n－1＝(2n＋
所以对于任意的n∈N＋，都有Tn＜564.6.已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝anlog12)an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋1<0恒成立，试求m的取值范围.
解 (1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，
代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.
∴a2＋a4＝20，
∴a1q＋a1q3＝20，a3＝a1q2＝8，)解得q＝2，a1＝2)或q＝\f(12a1＝32.
又{an}单调递增，∴q＝2，a1＝2.)∴an＝2n.
(2)bn＝2n·log12)2n＝－n·2n，
∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②
①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1
＝2（1－2n）1－2－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2.
由Sn＋(n＋m)an＋1<0，
得2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1<0对任意正整数n恒成立，
∴m·2n＋1<2－2n＋1，即m<12n－1对任意正整数n恒成立.∵12n－1>－1，
∴m≤－1，即m的取值范围是(－∞，－1].
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