数学归纳法-学易试题君之课时同步练2019-2020学年高二数学人教版
第二章 推理与证明 2.3 数归纳法 班级：________________ 姓名：________________ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．用数归纳法证明“凸n边形的内角和S＝(n－2)π对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知n为正偶数，用数归纳法证明时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立． A．k＋1 B．k＋2 C．2k＋2 D．2(k＋2) 3．用数归纳法证明“”，则当??=??+1时，应当在??=??时对应的等式的两边加上 A． B． C． D． 4．如果命题??(??)对于??=1成立，同时，如果??=??成立，那么对于??=??+2也成立.这样，下述结论中正确的是 A．??(??)对于所有的自然数??成立 B．??(??)对于所有的正奇数??成立 C．??(??)对于所有的正偶数??成立 D．??(??)对于所有 压缩包中的资料: 专题2.3 数归纳法-易试题君之课时同步练2019-2020年高二数（理）人教版（选修2-2）/专题2.3 数归纳法-易试题君之课时同步练2019-2020年高二数（理）人教版（选修2-2）（原卷版）.docx 专题2.3 数归纳法-易试题君之课时同步练2019-2020年高二数（理）人教版（选修2-2）/专题2.3 数归纳法-易试题君之课时同步练2019-2020年高二数（理）人教版（选修2-2）（汇总版）.docx
（2）假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,有则下列说法中正确的有__________.(填出所有正确说法的序号)
①证明过程全部正确;②n=1的验证不正确;
③n=k的归纳假设不正确;④从n=k到n=k+1的推理不正确.
10．用数学归纳法证明不等式的过程中，由“”到“”时，左边增加了__________项.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．观察下列等式：
；
；
；
；
……
（1）照此规律，归纳猜想第个等式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
12．已知函数对任意实数都有，且.
（1）求的值，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
13．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除.
14．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.
15．平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，用数学归纳法证明:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2个部分.
16．在数列中，，其中.
（1）计算的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
17．已知函数在处的切线的斜率为1．
（1）求的值及的最大值；
（2）用数学归纳法证明：.
专题2.3 数学归纳法-学易试题君之课时同步练2019-2020学年高二数学（理）人教版（选修2-2）（汇总版）.docx：第二章 推理与证明
2.3 数学归纳法
班级：________________ 姓名：________________
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和S＝(n－2)π对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【汇总】n边形的最少边数为3,则n0＝3.
2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．
A．k＋1 B．k＋2
C．2k＋2 D．2(k＋2)
【答案】B
【汇总】根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2.
故选B．
3．用数学归纳法证明“”，则当时，应当在时对应的等式的两边加上
A． B．
C． D．
【答案】A
【汇总】因为当时，，
当时，.
故选A．
4．如果命题对于成立，同时，如果成立，那么对于也成立.这样，下述结论中正确的是
A．对于所有的自然数成立 B．对于所有的正奇数成立
C．对于所有的正偶数成立 D．对于所有大于3的自然数成立
【答案】B
【汇总】由于若命题对成立，则它对也成立．
又已知命题成立，
可推出 均成立，
即对所有正奇数都成立.
故选B．
5．设，那么
A． B．
C． D．
【答案】D
【汇总】
．
故选D．
6．当是正整数时，用数学归纳法证明从到等号左边需要增加的代数式为
A． B．
C． D．
【答案】D
【汇总】当时，.
则当时，，
作差可得从到，等号左边需增加的代数式为.
故选D．
7．现有命题“，”，不知真假，请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为
A．不能用数学归纳法去判断真假 B．一定为真命题
C．加上条件后才是真命题，否则为假 D．存在一个很大常数，当时，命题为假
【答案】B
【汇总】(1)当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；
(2)假设时，等式成立，即，
则时，
，
即时，等式也成立，
综上，时，等式恒成立.
故选B.
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
8．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是___________.
【答案】
【汇总】在等式中，当时，，
而等式左边起始为的连续的正整数的和，
故时，等式左边的项为，
故答案为.
9．对于不等式
（2）假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,有
则下列说法中正确的有__________.(填出所有正确说法的序号)
①证明过程全部正确;②n=1的验证不正确;
③n=k的归纳假设不正确;④从n=k到n=k+1的推理不正确.
【答案】④
【汇总】n=1的验证及n=k的归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而是通过对不等式的放缩直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.
故填④.
10．用数学归纳法证明不等式的过程中，由“”到“”时，左边增加了__________项.
【答案】
【汇总】当时，左边，
当时，左边，
观察可知，增加的项数是，故答案是.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．观察下列等式：
；
；
；
；
……
（1）照此规律，归纳猜想第个等式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【汇总】（1）第个等式为；
（2）用数学归纳法证明如下：
①当时，左边，右边,
所以当时，原等式成立.
②假设当时原等式成立，
即,
则当时，
,
所以当时，原等式也成立.
由①②知，（1）中的猜想对任何都成立.
12．已知函数对任意实数都有，且.
（1）求的值，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【汇总】（1），
，
，
，
猜想.
（2）当时，，猜想成立；
假设时，猜想成立，即，
则当时，，
即当时猜想成立.
综上，对于一切均成立.
13．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除.
【汇总】(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命题成立.
(2)假设n＝k时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3
＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33
＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3).
由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，
又9(k2＋3k＋3)也能被9整除，故n＝k＋1时命题也成立.
由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.
14．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.
【汇总】当n＝1、n＝2、n＝3时都有2n＋2＞n2成立,所以归纳猜想2n＋2＞n2成立.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时,左边＝21＋2＝4；右边＝1,左边＞右边,所以原不等式成立；
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