函数-2020年数学冬令营集训之函数、三角函数、导数
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性质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数
（4）在R上是减函数
4．指数式与对数式的互化：
5．重要公式： ，.对数恒等式
6．对数的运算法则
如果，有
；；
7．对数换底公式：
( a > 0 ,a ? 1 ，m > 0 ,m ? 1,N>0)
8．两个常用的推论:
①，
②（ a, b > 0且均不为1）
9．对数函数的性质：
a>1
0图
象
性
质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时
时
时
时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
10．同底的指数函数与对数函数互为反函数
11．指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
(1) af(x)=b?f(x)=logab, logaf(x)=b?f(x)=ab; （定义法）
(2) af(x)=ag(x)?f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)?f(x)=g(x)>0（转化法）
(3) af(x)=bg(x)?f(x)logma=g(x)logmb (取对数法)
(4) logaf(x)=logbg(x)? (换底法)
12.幂函数 形如（其中为常数）的函数叫做幂函数.
三、函数的图象
1.作图、识图
(1)作图：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的汇总式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）、对称性；④描点连线，画出函数的图象.
(2)识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．
2.四种变换
(1)平移变换
水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；
竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到．
① y=f(x)y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(x?h);
③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)?h.
(2)对称变换
函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；
函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到．
(3)翻折变换
函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；
函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．
(4)伸缩变换
函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；
函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到．
四、函数与方程
1． 函数y=f(x)的零点，实际上就是方程f(x)=0的根，也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.函数的零点是一个数，而不是直角坐标系中的点.
2.函数零点的求法：
代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
几何法：不能用求根公式的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系，利用函数性质找出零点
3．零点存在性定理：若函数y =f(x)在区间 [a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线，并且
有，则函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点，即存在，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
4.二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．
基础巩固
一、选择题
1.下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x B．f(x)＝x2－4x＋2，g(x)＝x－2
C．f(x)＝sin 2x2cos x，g(x)＝sin x D．f(x)＝|x|，g(x)＝x2
3.函数y＝ x－12x)－log2(4－x2)的定义域是( )
A．(－2，0)∪(1，2) B．(－2，0]∪(1，2)
C．(－2，0)∪[1，2) D．[－2，0]∪[1，2]
4.已知f\a\vs4\al\co1(\f(12)x－1)＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A．－74 B.74 C.43 D．－43
5.设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B．奇函数，且在(0，1)上是减函数
C．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
6.函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )
A．－9 B．9 C．－3 D．0
7.已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
8.下列四个图象中，函数的图象可能是（ ）
二、填空题
9.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f?x?，
则f(2 020)＝________.
10.已知函数，若，则实数的值为
11.若<，则实数a的取值范围是____________．
12. 已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝x3，x≤0，g?x?，x>0，)若f(6－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
13. 函数f(x)＝\a\vs4\al\co1(\f(13))x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
三、解答题
14. 已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
15. 函数的定义域为，且对任意，有，且当时，，
(1)证明是奇函数；
(2)证明在上是减函数；
(3)若,，求的取值范围.
16. 已知f(x)＝xx－a(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
能力提升
一、选择题
1.定义a⊕b＝a×b，a×b≥0，ab)，a×b<0，设函数f(x)＝ln x⊕x，则f(2)＋f\a\vs4\al\co1(\f(12))＝( )
A．4ln 2 B．－4ln2 C．2 D．0
2.已知函数f(x)满足f(2x)＝2f(x)，且当1≤x＜2时，f(x)＝x2，则f(3)＝( )
A.98 B.94 C.92 D．9
3.函数y＝－x2－x＋2)ln x的定义域为( )
A．(－2，1) B．[－2，1] C．(0，1) D．(0，1]
4.如果函数f(x)＝ln (－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5.下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )
A．y＝x2－2x＋1 B．y＝x＋2x＋1(x∈(0，＋∞))
C．y＝1x2＋2
专题01 函数 知识梳理 一、函数的定义及基本性质 1.函数的概念 设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f（x）,x∈A,函数y=f（x）中,x叫自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集. 2. 函数的三要素是:定义域、对应关系、值域. 3.函数的基本性质:单调性 奇偶性 周期性 二、基本初等函数的图象与性质 1.根式的运算性质: ①当n为任意正整数时,=a ②当n为奇数时,=a；当n为偶数时,=|a|= ⑶根式的基本性质:（a》0） 2.分数指数幂的运算性质: 3.的图象和性质 a》1 0《a《1 图象 / / 性质 （1）定义域:R （2）值域:（0, ∞） （3）过点（0,1）,即x=0时,y=1 （4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数 4.指 压缩包中的资料: 专题01 函数-2020年数（理）冬令营集训之函数、三角函数、导数（原卷版）.docx 专题01 函数-2020年数（理）冬令营集训之函数、三角函数、导数（汇总版）.docx
图象性质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数
（4）在R上是减函数
4．指数式与对数式的互化：
5．重要公式： ，.对数恒等式
6．对数的运算法则
如果，有
；；
7．对数换底公式：
( a > 0 ,a ? 1 ，m > 0 ,m ? 1,N>0)
8．两个常用的推论:
①，
②（ a, b > 0且均不为1）
9．对数函数的性质：
a>1
0
象
性
质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时
时
时
时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
10．同底的指数函数与对数函数互为反函数
11．指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
(1) af(x)=b?f(x)=logab, logaf(x)=b?f(x)=ab; （定义法）
(2) af(x)=ag(x)?f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)?f(x)=g(x)>0（转化法）
(3) af(x)=bg(x)?f(x)logma=g(x)logmb (取对数法)
(4) logaf(x)=logbg(x)? (换底法)
12.幂函数 形如（其中为常数）的函数叫做幂函数.
三、函数的图象
1.作图、识图
(1)作图：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的汇总式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）、对称性；④描点连线，画出函数的图象.
(2)识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．
2.四种变换
(1)平移变换
水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；
竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到．
① y=f(x)y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(x?h);
③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)?h.
(2)对称变换
函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；
函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到．
(3)翻折变换
函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；
函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．
(4)伸缩变换
函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；
函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到．
四、函数与方程
1． 函数y=f(x)的零点，实际上就是方程f(x)=0的根，也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.函数的零点是一个数，而不是直角坐标系中的点.
2.函数零点的求法：
代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
几何法：不能用求根公式的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系，利用函数性质找出零点
3．零点存在性定理：若函数y =f(x)在区间 [a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线，并且
有，则函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点，即存在，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
4.二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．
基础巩固
一、选择题
1.下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x B．f(x)＝x2－4x＋2，g(x)＝x－2
C．f(x)＝sin 2x2cos x，g(x)＝sin x D．f(x)＝|x|，g(x)＝x2
3.函数y＝ x－12x)－log2(4－x2)的定义域是( )
A．(－2，0)∪(1，2) B．(－2，0]∪(1，2)
C．(－2，0)∪[1，2) D．[－2，0]∪[1，2]
4.已知f\a\vs4\al\co1(\f(12)x－1)＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A．－74 B.74 C.43 D．－43
5.设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B．奇函数，且在(0，1)上是减函数
C．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
6.函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )
A．－9 B．9 C．－3 D．0
7.已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
8.下列四个图象中，函数的图象可能是（ ）
二、填空题
9.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f?x?，
则f(2 020)＝________.
10.已知函数，若，则实数的值为
11.若<，则实数a的取值范围是____________．
12. 已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝x3，x≤0，g?x?，x>0，)若f(6－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
13. 函数f(x)＝\a\vs4\al\co1(\f(13))x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
三、解答题
14. 已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
15. 函数的定义域为，且对任意，有，且当时，，
(1)证明是奇函数；
(2)证明在上是减函数；
(3)若,，求的取值范围.
16. 已知f(x)＝xx－a(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
能力提升
一、选择题
1.定义a⊕b＝a×b，a×b≥0，ab)，a×b<0，设函数f(x)＝ln x⊕x，则f(2)＋f\a\vs4\al\co1(\f(12))＝( )
A．4ln 2 B．－4ln2 C．2 D．0
2.已知函数f(x)满足f(2x)＝2f(x)，且当1≤x＜2时，f(x)＝x2，则f(3)＝( )
A.98 B.94 C.92 D．9
3.函数y＝－x2－x＋2)ln x的定义域为( )
A．(－2，1) B．[－2，1] C．(0，1) D．(0，1]
4.如果函数f(x)＝ln (－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5.下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )
A．y＝x2－2x＋1 B．y＝x＋2x＋1(x∈(0，＋∞))
C．y＝1x2＋2
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