人教A版高中数学 高三二轮导数的简单应用 测试

课时作业(五)　导数的简单应用 1．(2017·陕西宝鸡质检二)曲线f(x)＝xlnx在点(e，f(e))(e为自然对数的底数)处的切线方程为(　　) A．y＝ex－2　　B．y＝2x＋e C．y＝ex＋2 D．y＝2x－e 汇总：本题考查导数的几何意义以及直线的方程．因为f(x)＝xlnx，故f′(x)＝lnx＋1，故切线的斜率k＝f′(e)＝2，因为f(e)＝e，故切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e，故选D. 答案：D 2．(2017·四川名校一模)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．0 【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.
6.已知m是实数，函数f (x)＝x2(x－m)，若，则函数f (x)的单调增区间是（ ）
A. B.
C. (0，＋∞) D. (0，＋∞)
【答案】C
【汇总】
因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2.所以f′(x)＝3x2＋4x.
由f′(x)＝3x2＋4x>0，解得x<－或x>0，
即f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，故选C.
故答案为：C
7.函数f(x)＝ex－3x－1(e为自然对数的底数)的图象大致是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【汇总】
由题意，知f(0)＝0，且f′(x)＝ex－3，当x∈(－∞，ln3)时，f′(x)<0，当x∈(ln3，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，结合图象知只有选项D符合题意，故选D.
8.已知曲线C1：y2＝tx(y>0，t>0)在点M处的切线与曲线C2：y＝ex＋1＋1也相切，则t的值为(　　)
A. 4e2 B. 4e
C. D.
【答案】A
【汇总】
由y＝，得y′＝，则切线斜率为k＝，所以切线方程为y－2＝ ，即y＝x＋1.设切线与曲线y＝ex＋1＋1的切点为(x0，y0)．由y＝ex＋1＋1，得y′＝ex＋1，则由ex0＋1＝，得切点坐标为，故切线方程又可表示为y－－1＝，即y＝x－ln＋＋1，所以由题意，得－ln＋＋1＝1，即ln＝2，解得t＝4e2，
故选A.
9.设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. . B. C. D.
【答案】A
【汇总】
试题分析：，当时，，即在上f（x）是减函数，
在上单调递减，，解得．故A正确．
考点：1用导数求函数的单调性；2集合间的关系．
【易错点晴】本题易错点在于为子集再得关于的不等式时等号是否成立问题上．应画数轴分析问题，以免出错．
10.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，F(x)＝，若F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c，则函数f(x)的最小值是(　　)
A. 2 B. 1
C. 0 D. －1
【答案】C
【汇总】
∵f′(x)＝2x＋b，∴F(x)＝，F′(x)＝，又F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c，∴ 得 ∴f(x)＝(x＋2)2≥0，f(x)min＝0.
故答案为：C
点睛：这个题目考查的是导数的几何意义以及函数的单调性，对于函数的最值问题，一般都是先研究函数的单调性，有单调性求得函数的最值.函数的单调性可以通过求导确定，也可以通过常见函数来确定.
11.已知奇函数f(x)=则函数h(x)的最大值为_______．
【答案】1－e
【汇总】
先求出x＞0时，f(x)＝－1的最小值．当x＞0时，f′(x)＝，∴x∈(0,1)时，f′(x)＜0，函数单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数单调递增，∴x＝1时，函数取得极小值即最小值，为e－1，∴由已知条件得h(x)的最大值为1－e.
12.对正整数n，设曲线y＝(2－x)xn在x＝3处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列在前n项和等于________．
【答案】
【汇总】
∵y＝(2－x)xn，∴y′＝－xn＋n(2－x)xn－1，
∴y′|x＝3＝－3n－n·3n－1＝－3n－1(n＋3)，
∴切线方程为y＋3n＝－3n－1(n＋3)(x－3)，
令x＝0，得切线与y轴交点的纵坐标为an＝(n＋2)·3n，所以＝3n，
则数列的前n项和为.
答案：.
13.已知函数f(x)＝x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【汇总】
由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立．
又∵y＝－x＋在上单调递减，∴max＝，
∴2a≥，即a≥.
14.已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【汇总】
因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为．
点睛:解函数不等式时，首先根据函数性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．
15.已知e是自然对数底数，实数a是常数，函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)．
(1)设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)判断函数f(x)的单调性．
【答案】（1）y＝－1.（2）见汇总
【汇总】
试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率为f′(1)，再根据点斜式求切线方程（2）先求导数，再根据导函数零点情况讨论，结合导函数符号确定函数单调性
试题汇总：(1)∵a＝e，
∴f(x)＝ex－ex－1，f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.
∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1.
(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上单调递增．
∴当a≤1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，
∴当0lna时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．
16.已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.
【汇总】
试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.
试题汇总：（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零