上海市七宝中学2017-2018学年高二上学期开学考试数学试题
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A. －114.先将函数图象向右平移个单位，再将所得的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的汇总式是（ ）
A. B.
C. D.
15.设函数，则对任何实数是（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
16.已知集合，无穷数列满足，且，则实数一定不属于（ ）
A. B. C. D.
三、解答题
17.已知集合，，其中，全集R．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18.在中，角、、所对的边分别为、、.
（1）若、、成等比数列，且，求的值；
（2）若、、成等差数列，且，求的周长的最大值.
19.设函数对任意的，都有，其中为常数，当时，.
（1）求函数在上的汇总式；
（2）若，求在时的值域.
20.（1）已知，求证：.
（2）已知，求证：在定义域内是单调递减函数；
（3）在（2）条件下，求集合的子集个数.
21.已知点是函数的图象上的一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足：.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列的通项，求数列的前项和；
（3）若数列的前项和为，是否存在最大的整数，使得对任意的正整数n，均有总成立？若成立，求出t；若不存在，请说明理由.
精品汇总：上海市七宝中学2017-2018学年高二上学期开学考试数学试题（汇总版）.doc：2017年七宝中学高二第一学期开学考
一、填空题
1.方程的解为 ________.
【答案】
【汇总】
【详解】, , 解得(舍),或, . 故答案为.
2.已知集合，集合，若，则实数_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
根据题意，若，必有，解之可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．
【详解】解：由，， ∴．解得， 验证可得符合集合元素的互异性， 故答案为：．
【点睛】本题考查元素的互异性以及集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．
3.若，则_____________.
【答案】
【汇总】
分析】
由条件通过诱导公式和同角三角函数基本关系求出，进而利用两角和的正切公式可求出．
【详解】解：由已知得，所以，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角公式的应用，是基础题．
4.如果函数是奇函数，则定义域是_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
根据函数是奇函数求出a的值，写出的汇总式，再求的定义域．
【详解】解：函数是奇函数， ， ， ， 令，解得， ∴的定义域是． 故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和定义域的应用问题，是基础题．
5.已知数列等比数列，且，则_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
根据等比数列的性质列式求解即可.
【详解】解：由数列是等比数列得，
又，得与同号，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查等比数列的性质，是基础题.
6.函数的反函数为_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
直接利用反三角函数的得答案即可.
【详解】解：函数的反函数为，
故答案为：.
【点睛】本题考查反三角函数的求解，是基础题.
7.不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
分两种情况讨论，分别检验是否满足条件，从而得出结论．
【详解】解：∵不等式组的解集为， ①当时，由求得；由，求得，故不等式组的解集为，故不满足条件； ②当时，由求得；由，求得， 若，即时，不等式组的解集为，满足条件； 若，即时，不等式组的解集为，不满足条件， 综上可得实数的取值范围是， 故答案为：．
【点睛】本题主要考查不等式组的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
8.设是公比为的等比数列，首项，对于，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则的取值范围为_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
由，得出数列是以为公差，以为首项的等差数列，由已知当且仅当时前项和最大，通过解不等式组求出公比的取值范围即可．
【详解】解：因为等比数列的公比为，首项， ∴， ∴数列是以为公差，以为首项的等差数列， ． 又当且仅当时前项和最大， ，且， ， ，即， 故答案为：．
【点睛】本题考查了等差数列的判定，前项和最值情况．本题得出数列是以为公差，以为首项的等差数列为关键．
9.对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【汇总】
分析】
先化简不等式，然后将分离出来，再根据基本不等式求出不等式一侧的最大值，使大于不等式一侧的最大值即可使不等式恒成立．
【详解】解：∵ 而 的最大值为，则， 故答案为：.
【点睛】本题主要考查了正弦函数的定义域和值域，以及函数恒成立问题和基本不等式的应用，属于中档题．
10.已知函数在区间上至少含有20个零点时，的最小值是_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
利用辅助角公式进行化简得到的表达式，计算出函数的周期结合图象得到一个周期内含有2个零点，根据图象建立取最小值时对应的周期关系即可．
【详解】解：， 则函数的最小周期， 作出的图象如图：
则在一个周期内函数含有两个零点， 若在区间上至少含有20个零点时， 则至少需要9个整周期外加一个周期内的两个零点长度即可， 即的最小值为， 故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，利用辅助角公式求出函数的 汇总式，结合图象判断一个周期内零点个数是解决本题的关键．
11.已知函数存在反函数，且，则_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
由反函数性质得互为反函数函数定义域值域互换，即可得答案．
【详解】解：由反函数性质得互为反函数的函数定义域值域互换， 由于中， 且，所以． 故答案为：．
【点睛】本题考查反函数性质，属于简单题．
12.已知等差数列的首项为，公差为；等比数列的首项为，公比为，其中均为正整数，且，若存在关系式，则_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
由题设可求，，结合已知．可得，由为正整数可求，由可求得，由且为正整数，可求出结果．
【详解】解：由题设知，， 由已知可得，， ， 又为正整数，， ， ， ， 且为正整数，， ． 故答案为：．
【点睛】本题考查等比数列，等差数列的通项公式，考查运算求解能力，是中档题．
二、选择题
13.已知0（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（ ）
A. －1【答案】C
【汇总】
由，整理可得（1－）－2bx+>0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－<0，此时>1，而01，
由不等式<0解得
即要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<<－2，由<－2得－b<－2（a－1），则有a<+1，即a<+1<+1，解得a<3，由－3<得3a－3>b>0，解得a>1，则1【此处有视频，请去附件查看】
14.先将函数图象向右平移个单位，再将所得的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的汇总式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【汇总】
【详解】函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（2x?），再将所得图象作关于y轴的对称变换，用?x换x可得函数图象对应的汇总式为：． 故选：C
15.设函数，则对任何实数是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【汇总】
【分析】
通过计算得，知是奇函数，所以在上是增函数，可得成立；若则由函数是增函数知成立，是的充要条件．
【详解】解：的定义域为 ∴是奇函数
"\r\u0013 PAGE \\* MERGEFORMAT \u00141\u0015\r汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！\r2017年七宝中高二第一期开考\r一、填空题\r1.方程的解为 ________.\r2.已知集合，集合，若，则实数_____________.\r3.若，则_____________.\r4.如果函数是奇函数，则的定义域是_____________
（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（ ）A. －1
A. B.
C. D.
15.设函数，则对任何实数是（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
16.已知集合，无穷数列满足，且，则实数一定不属于（ ）
A. B. C. D.
三、解答题
17.已知集合，，其中，全集R．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18.在中，角、、所对的边分别为、、.
（1）若、、成等比数列，且，求的值；
（2）若、、成等差数列，且，求的周长的最大值.
19.设函数对任意的，都有，其中为常数，当时，.
（1）求函数在上的汇总式；
（2）若，求在时的值域.
20.（1）已知，求证：.
（2）已知，求证：在定义域内是单调递减函数；
（3）在（2）条件下，求集合的子集个数.
21.已知点是函数的图象上的一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足：.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列的通项，求数列的前项和；
（3）若数列的前项和为，是否存在最大的整数，使得对任意的正整数n，均有总成立？若成立，求出t；若不存在，请说明理由.
精品汇总：上海市七宝中学2017-2018学年高二上学期开学考试数学试题（汇总版）.doc：2017年七宝中学高二第一学期开学考
一、填空题
1.方程的解为 ________.
【答案】
【汇总】
【详解】, , 解得(舍),或, . 故答案为.
2.已知集合，集合，若，则实数_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
根据题意，若，必有，解之可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．
【详解】解：由，， ∴．解得， 验证可得符合集合元素的互异性， 故答案为：．
【点睛】本题考查元素的互异性以及集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．
3.若，则_____________.
【答案】
【汇总】
分析】
由条件通过诱导公式和同角三角函数基本关系求出，进而利用两角和的正切公式可求出．
【详解】解：由已知得，所以，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角公式的应用，是基础题．
4.如果函数是奇函数，则定义域是_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
根据函数是奇函数求出a的值，写出的汇总式，再求的定义域．
【详解】解：函数是奇函数， ， ， ， 令，解得， ∴的定义域是． 故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和定义域的应用问题，是基础题．
5.已知数列等比数列，且，则_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
根据等比数列的性质列式求解即可.
【详解】解：由数列是等比数列得，
又，得与同号，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查等比数列的性质，是基础题.
6.函数的反函数为_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
直接利用反三角函数的得答案即可.
【详解】解：函数的反函数为，
故答案为：.
【点睛】本题考查反三角函数的求解，是基础题.
7.不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
分两种情况讨论，分别检验是否满足条件，从而得出结论．
【详解】解：∵不等式组的解集为， ①当时，由求得；由，求得，故不等式组的解集为，故不满足条件； ②当时，由求得；由，求得， 若，即时，不等式组的解集为，满足条件； 若，即时，不等式组的解集为，不满足条件， 综上可得实数的取值范围是， 故答案为：．
【点睛】本题主要考查不等式组的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
8.设是公比为的等比数列，首项，对于，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则的取值范围为_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
由，得出数列是以为公差，以为首项的等差数列，由已知当且仅当时前项和最大，通过解不等式组求出公比的取值范围即可．
【详解】解：因为等比数列的公比为，首项， ∴， ∴数列是以为公差，以为首项的等差数列， ． 又当且仅当时前项和最大， ，且， ， ，即， 故答案为：．
【点睛】本题考查了等差数列的判定，前项和最值情况．本题得出数列是以为公差，以为首项的等差数列为关键．
9.对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【汇总】
分析】
先化简不等式，然后将分离出来，再根据基本不等式求出不等式一侧的最大值，使大于不等式一侧的最大值即可使不等式恒成立．
【详解】解：∵ 而 的最大值为，则， 故答案为：.
【点睛】本题主要考查了正弦函数的定义域和值域，以及函数恒成立问题和基本不等式的应用，属于中档题．
10.已知函数在区间上至少含有20个零点时，的最小值是_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
利用辅助角公式进行化简得到的表达式，计算出函数的周期结合图象得到一个周期内含有2个零点，根据图象建立取最小值时对应的周期关系即可．
【详解】解：， 则函数的最小周期， 作出的图象如图：
则在一个周期内函数含有两个零点， 若在区间上至少含有20个零点时， 则至少需要9个整周期外加一个周期内的两个零点长度即可， 即的最小值为， 故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，利用辅助角公式求出函数的 汇总式，结合图象判断一个周期内零点个数是解决本题的关键．
11.已知函数存在反函数，且，则_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
由反函数性质得互为反函数函数定义域值域互换，即可得答案．
【详解】解：由反函数性质得互为反函数的函数定义域值域互换， 由于中， 且，所以． 故答案为：．
【点睛】本题考查反函数性质，属于简单题．
12.已知等差数列的首项为，公差为；等比数列的首项为，公比为，其中均为正整数，且，若存在关系式，则_____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
由题设可求，，结合已知．可得，由为正整数可求，由可求得，由且为正整数，可求出结果．
【详解】解：由题设知，， 由已知可得，， ， 又为正整数，， ， ， ， 且为正整数，， ． 故答案为：．
【点睛】本题考查等比数列，等差数列的通项公式，考查运算求解能力，是中档题．
二、选择题
13.已知0
A. －1
【汇总】
由，整理可得（1－）－2bx+>0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－<0，此时>1，而0
由不等式<0解得
即要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<<－2，由<－2得－b<－2（a－1），则有a<+1，即a<+1<+1，解得a<3，由－3<得3a－3>b>0，解得a>1，则1
14.先将函数图象向右平移个单位，再将所得的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的汇总式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【汇总】
【详解】函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（2x?），再将所得图象作关于y轴的对称变换，用?x换x可得函数图象对应的汇总式为：． 故选：C
15.设函数，则对任何实数是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【汇总】
【分析】
通过计算得，知是奇函数，所以在上是增函数，可得成立；若则由函数是增函数知成立，是的充要条件．
【详解】解：的定义域为 ∴是奇函数
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