山西省太原市第十二中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题

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山西省太原市第十二中2017-2018年高一上期期中考试 数试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2.函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 3.函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C．-2 D．2 4.下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ） A． B． C. D． 5.已知函数，则（ ） A．-1 B．0 C. 1 D．2 6.已知幂函数在上是增函数，则实数（ ） A．2 B．-1 C.-1或2 D． 7.已知，则函数与函数的图象可能是（ ）

若a>1,选项B符合.
故选B
【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的图象，以及对数的运算性质.
8.下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【汇总】

对于，，故错；对于，，故错；对于，，故错；对于，，，对，故选D.
9.如图所示的图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，，则（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【汇总】
, ,所以 或,选C.
10.函数的零点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【汇总】
分别作函数图像,由图可知,有三个交点,选C.
点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
11.已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【汇总】
【详解】因为是奇函数且，所以，又因为函数在上单调递减且，即，所以，，不等式的解集是，故选D.
12.函数是定义在上的奇函数，且偶函数的定义域为，且当时，，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【汇总】
分别作出函数和的图象如图，若存在实数，使得成立，则一定在函数使两个函数的函数值重合的区间内，函数的最大值为，最小值为，由，解得，由，解得；由，解得，由，解得，故的取值范围是，故选A.
【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知集合，，则__________.
【答案】
【汇总】

点睛：集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
14.函数（，且）的图象必经过的定点是__________.
【答案】
【汇总】
当x=1时,y=1，所以必经过的定点是
15.已知，则__________.
【答案】
【汇总】


点睛：分数指数幂运算(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
16.某品牌手机销售商今年1，2，3月份的销售量分别是1万部，1.2万部，1.3万部，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售为依据，用一个函数模拟该品牌手机的销售量y（单位：万部）与月份x之间的关系,现从二次函数 或函数 中选用一个效果好的函数行模拟，如果4月份的销售量为1.37万件，则5月份的销售量为__________万件.
【答案】1.375
【汇总】
由题意可得，当选用函数时，，解得，，当选用函数时，解得，，更接近于，选用函数拟合效果较好，， 月份的销售量为，故答案为.
【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及回归分析的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是先求解两函数的汇总式，利用 月份的销售量判断哪个函数拟合效果较好，从而得出 月份的销售量.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知全集，，.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；(2).
【汇总】
试题分析：（1）当时，，根据集合交集、并集的定义可得,；（2）先求出,根据包含关系列不等式组求解即可.
试题汇总：（1）当时，，，
（2）
若,则有，不合题意.
若，则满足或，解得或
故答案为或
18.计算下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】(1)；(2).
【汇总】
试题分析：（1）直接利用指数幂运算法则求解即可，求解过程一定要细心，避免出现计算错误；（2）直接利用对数的运算法则及换底公式求解即可.
试题汇总：（1）
（2）


19.已知函数
（1）在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出的单调区间；
（2）若函数由四个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见汇总；(2).
【汇总】
试题分析：（1）分别画出在时的图象、在时的图象、在时的图象，即可得函数的图象，由函数图像可得函数的单调区间；（2）函数有四个零点等价于的图象与的图象有四个交点，由函数的图象可得的取值范围.
试题汇总：（1）函数的图象如图，
由图象可得，单调递增区间为，，单调递减区间为，
（2）函数有四个零点等价于的图象与的图象有四个交点，由函数的图象可得的取值范围为时，的图象与的图象有四个交点，即）函数有四个零点，所以的取值范围为.
20.已知
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由
（2）当时，判断函数在单调性，并证明你的判断
【答案】(1)详见汇总;(2)详见汇总.
【汇总】
试题分析：（1）由，结合函数的定义域可得为奇函数；（2）任取，，可得，从而可得结果.
试题汇总：（1）为奇函数.
理由：因为的定义域为
又，所以为奇函数.
（2）在为单调递减.
证明：任取，，
因为，所以，所以，
所以在为单调递减.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（ 为偶函数， 为奇函数） .
21.已知
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由.
（2）判断函数在单调性，并证明你的判断.
【答案】(1)详见汇总