全国大联考2020届高三2月联考理科数学试题

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1.设集合 A={x|x2≤x},B={x|1x≥1},则 A∩B= A. （??,1] C. （0,1] B. [0,1] D. （??,1] ∪ （0,1] 2.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 z（1 i）=2i,则 z= A.2 B.1 i C.-1 i D.1-i 3.“0《x《1”是“sinx2《sinx”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.运行如图所示的程序框图,设输出的数据构成集合 A,从集合 A 中任取一个元素 a,则函数 y ? xa 在（0, ∞）上是增函数的概率为 A.12 B.35 C.45 D.34 5.已知向量a=（3,1）,b ? ?0, ?1? , c ? ?k, 3 ?,若?a ? 2b? ? c , 则 k 等于（ ） A. 23 B.2 C. ????????????????????????????????D.1 6.已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 C:y2=2px（p》0）的焦点 F,且与 抛物线交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 1,则 p= A.1 B. C.2 D.4

A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合 A，从集合 A 中任取一个元素 a，则函数 y ? xa 在(0，+∞)上是增函数的概率为
A．12 B．35
C．45 D．34
5．已知向量a=(3，1)，b ? ?0, ?1? ， c ? ?k, 3?，若?a ? 2b? ? c ，
则 k 等于（ ）
A． 23 B．2 C． ????????????????????????????????D．1
6．已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 C：y2=2px(p>0)的焦点 F，且与
抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 1，则 p=
A．1 B． C．2 D．4
7．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示，则其体积为
A．83 +4π B．83 +8π
C．8+4π D．8+8π
8．将函数 f (x) ? sin 2x ?3cos 2x 的图象向右平移? ( ? >0)个单位，再向上平移 1 个单位，
所得图象经过点( ?8 ，1)，则? 的最小值为
A．5?12 B．7?12 C．5?24 D． 7?24
9．已知双曲线x2y2b2? 1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作 x2+y2=a2 的切线，交双曲线右支于点 M，若∠F1MF2=45o，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．3
10．有一个长方体木块，三个侧面积分别为 8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为
A．2 B． 2 C．4 D． 4
11．已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，A(0，2)，|OB|2+|OA|2=20，若平面内点 P 满足 PB ? 3PA ，则|PO|的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
12．已知 A、B 是函数 f (x) ? (其中 a>0)图象上的两个动点，点 P(a，0)，若
PA? PB 的最小值为 0，则函数 f ( x) 的最小值为
A．?1e2 B． ? ?1e C． 1e2 D． ? 1e
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知实数 x ， y 满足约束条件，则 z ? 2x ? 3y 的最小值是 ．
14．已知向量 a，b 的夹角为 45o，若 a=(1，1)，|b|=2，则|2a+b|= ．
15．记(2 ? x)7 ? a0 ? a1(1? x) ? a2 (1? x)2 ? ??? ? a7 (1? x)7 ，则a1 ? a2 ? ??? ? a6 = ．
16．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 acosC-ccosA=35b ，则 tan(A-C)
的最大值为 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：（共 60 分）
17．（本小题满分 12 分）
设等比数列{an}的公比为 q，Sn 是{an}的前 n 项和，已知 a1+2，2a2，a3+1 成等差数列， 且 S3=4a2-1，q>1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记数列{nan}的前 n 项和为 Tn，试问是否存在n∈N*使得 Tn<3？如果存在，请求出 n 的值；如果不存在，请说明理由．


18．（本小题满分 12 分）
某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试．已知队员的测试分数 y 与仰卧起坐个数 x 之间的关系如下：y= ；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时 1 分钟，当一组测完，测试成绩达到 60 分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：
（1）计算a 值；
（2）以此样本的频率作为概率，求①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于80 的概率；
②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望．
19．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 ADE-BCF 中，侧面 ABCD 是为菱形， E 在平面 ABCD 内的射影 O 恰为线段 BD 的中点．
（1）求证：AC⊥CF；
（2）若∠BAD=60o，AE=AB，求二面角 E-BC-F 的平面角的余弦值．
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆E:x2y2b2(a>b>0) 的的离心率为3)2，A、B 分别为 E 的左顶点和上顶点，若 AB 的中点的纵坐标为12 ．F1，F2 分别为 E 的左、右焦点．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设直线 L： x= my+m22与 E 交于 M，N 两点，△MF1F2，△NF1F2 的重心分别为
G，H．若原点 O 在以 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围．

21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) ? a(1 ? x) ? ln x2 (a∈R)，且 f ( x) 在(0，+∞)上满足 f ( x) ≤0 恒成立．
（1）求实数 a 的值；
（2）令 g( x) ? x ? f(x)+axx?a 在(a，? ?) 上的最小值为m ，求证： ?11 ? f (m) ? ?10 ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。
22． [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，P(2，0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ，点 Q(ρ，θ)(0≤θ≤ ? )为 C 上的动点，M 为 PQ 的中点．
（1）请求出 M 点轨迹 C1 的直角坐标方程；
（2）设点 A 的极坐标为 A(1，π)，若直线 l 经过点 A 且与曲线 C1 交于点 E，F，弦 EF
的中点为 D，求
的取值范围．


23． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知 a>0，b>0．
（1）若关于 x 的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对任意实数 x 都成立，求实数 a 的最小值；
（2）求证： a ? b ≥ ?

理科数学参考答案.pdf： 理科数学参考答案 第 1 页（共 6 页） 20·LK2·QG 秘密★网络公布前 [网络公布时间：2020 年 2 月 6 日 15:00] 全国大联考 2020 届高三 2 月联考 理科数学参考答案 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B A D C C A B B B D 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分． 13．-8 14．2 5 15．126 16． 3 4 三、解答题：共 70 分． 17．解：（1）∵ a1+2，2a2，a3+1 成等差数列， ∴ 4a2=a1+2+a3+1= a1+a3+3， 即 4a1q=a1+a1q2+3，① 由 S3=4a2-1 可得 a1+a1q+a1q2=4a1q-1，即 a1-3a1q+a1q2+1=0，② 联立①②及 q>1 解