不等式选讲-2020年高考数学选考与统计部分二轮专项提升

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《2020年数（理）选考与统计部分二轮专项提升》 专题06 不等式选讲 高考题型特点： 这部分属于高考必考内容，全国卷考一道大题，属于选考，占10分，难度中等偏下。 二、重难点： 1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法． 2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决． 3.证明不等式的方法和技巧： (1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数归纳法等． (2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的根本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据． 三、易错注意点： 1.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的 压缩包中的资料: 专题06不等式选讲（汇总版）.doc 专题06不等式选讲（原卷版）.doc

|a|f\a\vs4\al\co1(\f(ba)).
4．(2019·云南一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－2a＋3|.
(1)当a＝2时，解关于x的不等式f(x)≤9；
(2)当a≠2时，若对任意实数x，f(x)≥4都成立，求实数a的取值范围．
5．(2019·恩施模拟)已知函数f(x)＝|x＋m|＋2|x－1|(m>0)．
(1)当m＝2时，求不等式f(x)≤8的解集；
(2)若不等式f(x＋1)<3的解集为?，求实数m的取值范围．
6．(2019·浉河区校级月考)已知a>0，b>0，a＋b＝2.求证：
(1)ab＋ba≤2；
(2)2≤a2＋b2<16.
7．(2019·烟台一模)已知函数f(x)＝|2x－1|－m|x＋2|.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥2的解集；
(2)若存在实数m使得不等式f(x－2)>m在x∈[－1,1]恒成立，求m的取值范围．
8．(2019·南昌模拟)设函数f(x)＝|2x－3|.
(1)求不等式f(x)>5－|x＋2|的解集；
(2)若g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)的最小值为4，求实数m的值．
9．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.
(1)若不等式f(x)＋|x－1|≥2对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当a＜2时，函数f(x)的最小值为a－1，求实数a的值．
10.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a的值．

专题06不等式选讲（汇总版）.doc：《2020年数学（理）选考与统计部分二轮专项提升》
专题06 不等式选讲
一、 高考题型特点：
这部分属于高考必考内容，全国卷考一道大题，属于选考，占10分，难度中等偏下。
二、重难点：
1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法．
2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．
3.证明不等式的方法和技巧：
(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．
(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的根本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．
三、易错注意点：
1.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．
2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.
3.在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.
四、典型例题：
例1.（2019全国I理23）[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
【汇总】（1）因为，又，故有
.
所以.
（2）因为为正数且，故有
=24.
所以.
例2. （2019全国II理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围.
【汇总】（1）当a=1时，.
当时，；当时，.
所以，不等式的解集为.
（2）因为，所以.
当，时，
所以，的取值范围是.
例3.（2019全国III理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或.
【汇总】（1）由于
，
故由已知得，
当且仅当x=，y=–，时等号成立．
所以的最小值为.
（2）由于
，
故由已知，
当且仅当，，时等号成立．
因此的最小值为．
由题设知，解得或．
例4．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时不等式成立，求的取值范围．
【汇总】(1)当时，，即
故不等式的解集为．
(2)当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．
例5．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求的取值范围．
【汇总】(1)当时，
可得的解集为．
(2)等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
例6．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数．
(1)画出的图像；
(2)当时，，求的最小值．
【汇总】(1)
的图像如图所示．
(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．
例7．（2017新课标Ⅰ）已知函数，．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．
【汇总】（1）当时，不等式等价于
．①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，从而；
当时，①式化为，从而．
所以的解集为．
（2）当时，．
所以的解集包含，等价于当时．
又在的最小值必为与之一，
所以且，得．
所以的取值范围为．
例8．（2017新课标Ⅱ）已知，，，证明：
(1)；
(2)．
【汇总】（1）
（2）∵
，
所以，因此．
例9．（2017新课标Ⅲ）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若不等式的解集非空，求的