分项练(二) 数列-2020高考文科数学【步步高】大二轮22题逐题特训(通用版)

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(二)数　列 1．(2019·湖南六 校联考)已知公差d≠0的等差 数列{an}满足a1＝1，且 a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an等于(　　) A．10 B．20 C．30 D．5或40 答案　C 汇总　由题意知(a4－2)2＝a2a6， 因为{an}为等差数列， 所以(3d－1)2＝(1＋d)(1＋5d)， 因为d≠0，解得d＝3， 从而am－an＝(m－n)d＝30. 2．(2019·新疆维吾尔自治区适应性检测)正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＋a9－a＋15＝0，则S11等于(　　) A．35 B．3 6 C．45 D．55 答案　D 汇总　由{an}是等差数列，得a3＋a9＝2a6， 因为a3＋a9－a＋15＝0， 所以2a6－a＋15＝0， 解得a6＝5或－3， 又an>0，得a6＝5， 所以S11＝(a1＋a11)·11＝11a6＝55. 3．(2019·河南省南阳市第一中模拟)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S3＝a ，且S1，S2，S

即k的最小值为19.
6．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝2－2·(－1)n，n∈N*，则S2 019的值为(　　)
A．2 018×1 011－1 B．1 010×2 018
C．2 019×1 011－1 D．1 010×2 017
答案　C
汇总　由递推公式，可得
当n为奇数时，an＋2－an＝4，数列{an}的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列，
当n为偶数时，an＋2－an＝0，数列{an}的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列，
S2 019＝(a1＋a3＋…＋a2 019)＋(a2＋a4＋…＋a2 018)
＝1 010＋12×1 010×1 009×4＋1 009×2
＝2 019×1 011－1.
7．(2019·南充质检)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a56等于(　　)
A．－3 B．0 C.3 D.3)2
答案　A
汇总　因为an＋1＝(n∈N*)，
所以a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，a5＝－3，a6＝3，…，
故此数列的周期为3.
所以a56＝a18×3＋2＝a2＝－3.
8．(2019·沈阳郊联体模拟)我国南北朝时的数学著作《张丘建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数(单位：斤)之和为(　　)
A.13 B.76 C.73 D.67
答案　C
汇总　设an为第n等人的得金数，则{an}为等差数列，
由题设可知a1＋a2＋a3＝4，a8＋a9＋a10＝3，
故a2＝43，a9＝1，
而a5＋a6＝a2＋a9＝73.
9．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为(　　)
A．12 B．9 C．6 D．18
答案　D
汇总　因为S3－S2＝a3，
所以由S2＋a2＝S3－3，得a3－a2＝3，
设等比数列{an}的公比为q，则a1＝3q?q－1?，
由于{an}的各项为正数，所以q>1.
a4＋3a2＝a1q3＋3a1q
＝a1q(q2＋3)＝3q?q－1?q(q2＋3)
＝3?q2＋3?q－1＝3\a\vs4\al\co1(q－1＋\f(4q－1)＋2)≥18，
当且仅当q－1＝2，
即q＝3时，a4＋3a2取得最小值18.
10．已知数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{cn}，令xn＝cn1＋cn，则1x1…xn－1xn的取值范围为(　　)
A．[1,2) B．(1，e)
C.\f(32)，) D.\f(32)，e)
答案　C
汇总　由题意知，{an}，{bn}的共同项为2,8,32,128，…，故cn＝22n－1.
由xn＝cn1＋cn，
得1xn＝1＋1cn，
1x1…xn－1xn＝\a\vs4\al\co1(1＋\f(1c1))\a\vs4\al\co1(1＋\f(1c2))…\a\vs4\al\co1(1＋\f(1cn)).
令Fn＝1x1…xn－1xn，
则当n≥2时，FnFn－1＝1xn>1，
故数列{Fn}是递增数列，
∴1x1…xn－1xn≥32.
∵当x>0时，ln(1＋x)∴ln\a\vs4\al\co1(1＋\f(1cn))<1cn，
则ln\b\lc\(\rc\\rc\\rc\cn)))
＝ln\a\vs4\al\co1(1＋\f(1c1))＋ln\a\vs4\al\co1(1＋\f(1c2))＋…＋ln\a\vs4\al\co1(1＋\f(1cn))
<1c1＋1c2＋…＋1cn
＝12＋123＋…＋122n－1
＝1\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\22)))n)14<1214＝23，
∴\a\vs4\al\co1(1＋\f(1c1))\a\vs4\al\co1(1＋\f(1c2))…\a\vs4\al\co1(1＋\f(1cn))<，
故32≤1x1…xn－1xn<，故选C.
11．(2019·天一联考)设等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn，若(a2－1)3＋(a2－1)＝
2 019，(a2 018－1)3＋(a2 018－1)＝－2 019，则S2 019等于(　　)
A．0 B．2 C．2 019 D．4 038
答案　C
汇总　设f(x)＝x3＋x，
易知f(x)为R上的奇函数且单调递增．
而f(a2－1)＝2 019，f(a2 018－1)＝－2 019，
所以a2－1＋a2 018－1＝0，a1＋a2 019＝a2＋a2 018＝2，
S2 019＝2 019?a1＋a2 019?2＝2 019.
12．(2019·烟台模拟)对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]＝3，[－1.2]＝－2，[1.2]＝1.已知数列{an}满足an＝[log2n]，其前n项和为Sn，若n0是满足Sn>2 018的最小整数，则n0的值为(　　)
A．305 B．306 C．315 D．316
答案　D
汇总　由题意，an＝[log2n]，
当n＝1时，可得a1＝0，(1项)
当21≤n<22时，可得a2＝a3＝1，(2项)
当22≤n<23时，可得a4＝a5＝…＝a7＝2，(4项)
当23≤n<24时，可得a8＝a9＝…＝a15＝3，(8项)
当24≤n<25时，可得a16＝a17＝…＝a31＝4，(16项)
……，
当2k≤n<2k＋1时，
可得a2k＝a2k＋1＝…＝a2k＋1－1＝k，(2k项)
当n＝2k＋1－1时，
前n项和Sn＝1×21＋2×22＋…＋k×2k，
2Sn＝1×22＋2×23＋…＋k×2k＋1，
两式相减得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2k－k×2k＋1，
所以Sn＝(k－1)×