上海市延安中学2016届高三下学期开学摸底数学试题
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【此处有视频，请去附件查看】
14.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆⊙Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P为⊙Q上及内部的动点，设向量.则m＋n的取值范围是_______.
【答案】［2，5］
【汇总】
【详解】由已知得，
则=.
注意到，等于在方向的投影乘以.
当点Q在点c处、点P在BC上时，在方向的投影最短为2；
当点Q在点D处、点P在AD上时，在方向的投影最长为5.
综上，
故答案为［2，5］
二、选择题：
15.下列命题是真命题的是（ ）
A. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 正四面体是四棱锥
C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫做棱锥
D. 正四棱柱是平行六面体
【答案】D
【汇总】
【分析】
依次判断每个选项：缺少条件，除去底面，其余各面相邻两面的公共边都互相平行；正四面体是三棱锥，故错误；缺少条件，这些三角形有一个公共顶点；正确，得到答案.
【详解】A. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
缺少条件：除去底面，其余各面相邻两面的公共边都互相平行，故错误；
B. 正四面体四棱锥
正四面体是三棱锥，故错误；
C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫做棱锥
缺少条件：这些三角形有一个公共顶点，故错误；
D. 正四棱柱是平行六面体
根据平行六面体的定义知正确；
故选：
【点睛】本题考查了棱柱，棱锥，平行六面体，四面体的定义，意在考查学生对于几何体概念的理解.
16.若，则“关于的方程无实根”是“(其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【汇总】
试题分析：若方程无实根，则，即；若复数在复平面上对应的点位于第四象限，则，解得，所以若，则“关于的方程无实根”是“(其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件，故选B．
考点：1、充分条件与必要条件；2、复数的几何意义．
17.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数．有下列函数：
①； ②③④，
其中是一阶整点函数有( )个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【汇总】
【详解】根据题中所给的函数的性质，可知图象所过的唯一个整点为，图象所过的唯一个整点为，而图象上横坐标为整数的点的纵坐标都是整数，而图象上横坐标为零或负正整数的点的纵坐标都是整数，故整点很多，所以满足条件的一阶整点函数有2个，故选B．
考点：新定义的有关问题．
18.设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【汇总】
【分析】
根据题意，先确定的轨迹为直线，代入抛物线方程，可得的范围，再根据在圆上，将的坐标代入圆的方程，得到半径r与的等式关系，结合题意，即可得出r的取值范围．
【详解】设，，，当斜率存在时，设斜率为，则
，相减得：，因为直线与圆相切，所以，即，
的轨迹是直线，代入抛物线得：，所以，又在圆上，代入得：
，所以，因为直线恰好有四条，所以，所以，
即时直线恰好有两条，当直线斜率不存在时，直线有两条，所以直线恰有条时．
故选D．
【点睛】本题主要考查根据直线与圆的关系求半径范围以及设而不求的数学方法．
三、解答题：
19.已知在直三棱柱中， ，，直线与平面ABC成30°的角．
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【汇总】
【分析】
（1）计算，计算，利用等体积法计算得到距离.
（2）为中点，过作交于，连接，确定为二面角的平面角，计算线段长度，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】（1）直线与平面ABC成的角为，故，故
过作于，易知平面，
；
故平面，平面，故，
故，
故点到平面的距离为.
（2）为中点，过作交于，连接
等腰中，为中点，则，，
故为二面角的平面角
中，，故
在中，利用余弦定理得到：
故二面角的余弦值为
【点睛】本题考查了点到平面的距离，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
20.已知函数．
（1）求函数的最大值及此时x的值；
（2）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对定义域中的任意的x都有，若，求的最大值．
【答案】（1），；（2）.
【汇总】
【分析】
（1）化简得到，计算得到函数的最大值.
（2）根据
"\r\u0013 PAGE \\* MERGEFORMAT \u00141\u0015\r汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！\r上海市延安中高三开摸底考数试卷\r1.计算：______\r2.已知函数 ，则它的定义域是______.\r3.已知，则的值为______.\r4.设复数满足，则__________．\r5.若函数的图像经过点，则________．\r6.已知的展开
【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．【此处有视频，请去附件查看】
14.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆⊙Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P为⊙Q上及内部的动点，设向量.则m＋n的取值范围是_______.
【答案】［2，5］
【汇总】
【详解】由已知得，
则=.
注意到，等于在方向的投影乘以.
当点Q在点c处、点P在BC上时，在方向的投影最短为2；
当点Q在点D处、点P在AD上时，在方向的投影最长为5.
综上，
故答案为［2，5］
二、选择题：
15.下列命题是真命题的是（ ）
A. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 正四面体是四棱锥
C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫做棱锥
D. 正四棱柱是平行六面体
【答案】D
【汇总】
【分析】
依次判断每个选项：缺少条件，除去底面，其余各面相邻两面的公共边都互相平行；正四面体是三棱锥，故错误；缺少条件，这些三角形有一个公共顶点；正确，得到答案.
【详解】A. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
缺少条件：除去底面，其余各面相邻两面的公共边都互相平行，故错误；
B. 正四面体四棱锥
正四面体是三棱锥，故错误；
C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫做棱锥
缺少条件：这些三角形有一个公共顶点，故错误；
D. 正四棱柱是平行六面体
根据平行六面体的定义知正确；
故选：
【点睛】本题考查了棱柱，棱锥，平行六面体，四面体的定义，意在考查学生对于几何体概念的理解.
16.若，则“关于的方程无实根”是“(其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【汇总】
试题分析：若方程无实根，则，即；若复数在复平面上对应的点位于第四象限，则，解得，所以若，则“关于的方程无实根”是“(其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件，故选B．
考点：1、充分条件与必要条件；2、复数的几何意义．
17.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数．有下列函数：
①； ②③④，
其中是一阶整点函数有( )个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【汇总】
【详解】根据题中所给的函数的性质，可知图象所过的唯一个整点为，图象所过的唯一个整点为，而图象上横坐标为整数的点的纵坐标都是整数，而图象上横坐标为零或负正整数的点的纵坐标都是整数，故整点很多，所以满足条件的一阶整点函数有2个，故选B．
考点：新定义的有关问题．
18.设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【汇总】
【分析】
根据题意，先确定的轨迹为直线，代入抛物线方程，可得的范围，再根据在圆上，将的坐标代入圆的方程，得到半径r与的等式关系，结合题意，即可得出r的取值范围．
【详解】设，，，当斜率存在时，设斜率为，则
，相减得：，因为直线与圆相切，所以，即，
的轨迹是直线，代入抛物线得：，所以，又在圆上，代入得：
，所以，因为直线恰好有四条，所以，所以，
即时直线恰好有两条，当直线斜率不存在时，直线有两条，所以直线恰有条时．
故选D．
【点睛】本题主要考查根据直线与圆的关系求半径范围以及设而不求的数学方法．
三、解答题：
19.已知在直三棱柱中， ，，直线与平面ABC成30°的角．
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【汇总】
【分析】
（1）计算，计算，利用等体积法计算得到距离.
（2）为中点，过作交于，连接，确定为二面角的平面角，计算线段长度，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】（1）直线与平面ABC成的角为，故，故
过作于，易知平面，
；
故平面，平面，故，
故，
故点到平面的距离为.
（2）为中点，过作交于，连接
等腰中，为中点，则，，
故为二面角的平面角
中，，故
在中，利用余弦定理得到：
故二面角的余弦值为
【点睛】本题考查了点到平面的距离，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
20.已知函数．
（1）求函数的最大值及此时x的值；
（2）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对定义域中的任意的x都有，若，求的最大值．
【答案】（1），；（2）.
【汇总】
【分析】
（1）化简得到，计算得到函数的最大值.
（2）根据
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