第三章 导数及其应用 第三节 导数与函数的极值、最值-2020高考数学考点梳理与题型解析 文科
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第 169 /共 825页 第三节 导 数与 函 数 的极值 、 最 值 一 、 基 础知识 1 ．函数的极 值 (1) 函数的极小值： 函数 y ＝f( x) 在点 x ＝a 的 函数值 f( a) 比 它在点 x ＝a 附近其他点的函数值都小， f ′( a) ＝ 0 ；而且在点 x ＝a 附近的 左侧 f ′( x) ＜0 ，右侧 f ′( x) ＞0 ，则点 a 叫做函数 y ＝f( x) 的极小值 点，f( a) 叫做函数 y ＝f( x) 的极小值． (2) 函数的极大值： 函数 y ＝f( x) 在点 x ＝b 的 函数值 f( b) 比 它在点 x ＝b 附近其他点的函数值都大， f ′( b) ＝ 0 ；而且在点 x ＝b 附近的 左侧 f ′( x) ＞0 ，右侧 f ′( x) ＜0 ，则点 b 叫做函数 y ＝f( x) 的极大值 点，f( b) 叫做函数 y ＝f( x) 的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ①函数 f ( x ) 在 x 0 处有极
0，所以 f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有 Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即 16－12a≤0，解得 a≥ 4 3 . 故 a的取值范围为? ? ? ?4 3 ，＋∞ . 考点二 利用导数解决函数的最值问题 [典例] (2017·北京高考)已知函数 f(x)＝excos x－x. (1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间? ? ? ?0， π 2 上的最大值和最小值． [解] (1)因为 f(x)＝excos x－x， 所以 f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0. 又因为 f(0)＝1， 所以曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1. (2)设 h(x)＝ex(cos x－sin x)－1， 则 h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x. 当 x∈? ? ? ?0， π 2 时，h′(x)＜0， 所以 h(x)在区间? ? ? ?0， π 2 上单调递减． 所以对任意 x∈? ? ? ?0， π 2 ，有 h(x)＜h(0)＝0， 即 f′(x)＜0. 所以函数 f(x)在区间? ? ? ?0， π 2 上单调递减． 因此 f(x)在区间? ? ? ?0， π 2 上的最大值为 f(0)＝1， 最小值为 f? ? ? ?π 2 ＝－ π 2 . [解题技法] 导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤 第 173 /共 825页 (1)求函数 f(x)的导数 f′(x)； (2)求 f(x)在给定区间上的单调性和极值； (3)求 f(x)在给定区间! 学科网每份资料都启用了数字版权保护，仅限个人学习研究使用。任何分享、转载行为都会导致账号被封，情节严重者，追究法律责任！
