分项练(六) 函数与导数-2020高考文科数学【步步高】大二轮20题逐题特训(江苏专版)
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答案 \a\vs4\al\co1(－∞，\f(12))
汇总 ∵f′(x)＝2a－1?x＋2?2，且函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－2，＋∞)上恒成立，∴a≤12.
当a＝12时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去．
∴a<12.
5．已知a≤1－xx＋ln x对任意x∈\f(12)，2)恒成立，则a的最大值为________．
答案 0
汇总 令f(x)＝1－xx＋ln x，x∈\f(12)，2)，
则f′(x)＝x－1x2，x∈\f(12)，2).
当x∈\f(12)，1)时，f′(x)<0，当x∈[1,2]时，f′(x)≥0，
∴f(x)在\f(12)，1)上单调递减，在[1,2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a的最大值为0.
6．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________．
答案 (0,1)
汇总 f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值．
当a>0时，f′(x)＝3(x－a)(x＋a)．
当x∈(－∞，－a)和(a，＋∞)时，f(x)单调递增；
当x∈(－a，a)时，f(x)单调递减，
所以当07．如果函数f(x)＝x3－32x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．
答案 －12
汇总 ∵f′(x)＝3x2－3x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.
∴在[－1,1]上，当x∈[－1,0)时，f′(x)>0，
当x∈(0,1]时，f′(x)≤0，
f(x)在[－1,0)上单调递增，在(0,1]上单调递减．
∴x＝0是f(x)的极大值点，也是最大值点，
∴f(x)max＝f(0)＝a＝2，
∴f(x)＝x3－32x2＋2.
又f(－1)＝－12，f(1)＝32，
∴f(x)在[－1,1]上的最小值为－12.
8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
答案 4
汇总 当x＝0时，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.
设g(x)＝3x2－1x3，x≠0，则g′(x)＝3?1－2x?x4，x≠0.
所以g(x)在区间\a\vs4\al\co1(0，\f(12))上单调递增，
在区间\f(12)，1)上单调递减．
因此当x∈(0,1]时，g(x)max＝g\a\vs4\al\co1(\f(12))＝4，从而a≥4；
当x<0，即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤3x2－1x3，g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
因此当x∈[－1,0)时，g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.所以a＝4.
9．已知直线y＝a分别与直线y＝2x－2，曲线y＝2ex＋x交于点A，B，则线段AB长度的最小值为________．
答案 3＋ln 22
汇总 作曲线y＝2ex＋x的切线，使切线与直线y＝2x－2平行，
设切点为M(x0,2＋x0)，易得y′＝2ex＋1，
则切线的斜率k＝2＋1＝2?x0＝ln 12，
故M\a\vs4\al\co1(ln \f(112)，
故切线方程为y＝2x＋1＋ln 2，切线与x轴的交点坐标为\a\vs4\al\co1(－\f(1＋ln 22)，0).
已知直线y＝2x－2与x轴的交点坐标为(1,0)，故AB长的最小值为1－\a\vs4\al\co1(－\f(1＋ln 22))＝3＋ln 22.
10．如果函数y＝f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x1，x2，x3，满足|xi－2|f(xi)＝1(i＝1,2,3)，则称函数f(x)具有性质Ω.已知函数f(x)＝aex具有性质 Ω，则实数a的取值范围为________．
答案 \a\vs4\al\co1(\f(1e)，＋∞)
汇总 由题意知，若f(x)具有性质Ω，
则在定义域内|x－2|f(x)＝1有3个不同的实数根，
∵ f(x)＝aex，∴ 1a＝|x－2|·ex，
即方程1a＝|x－2|·ex在R上有3个不同的实数根．
设g(x)＝|x－2|·ex＝?x－2?·ex，x≥2，?2－x?·ex，x<2，)
当x≥2时，g′(x)＝(x－1)·ex>0，
即g(x)在[2，＋∞)上单调递增；
当x<2时，g′(x)＝(1－x)·ex，令g′(x)>0，得x<1，令g′(x)<0，得x>1，∴g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又∵ g(1)＝e，g(2)＝0，g(x)在R上连续，
∴方程1a＝|x－2|·ex在R上有3个不同的实数根即函数g(x)与y＝1a的图象有3个交点．
∴0<1a1e.
11．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是________．
答案 ②③
汇总 方法一 由f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，
得f′(x)＝3x2－12x＋9.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.
当x<1时，f′(x)>0；
当1当x>3时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)有极大值，
当x＝3时，f(x)有极小值．
∵函数f(x)有三个零点，
∴f(1)>0，f(3)<0，
且a<1又∵f(3)＝27－54＋27－abc＝－abc<0，
∴abc>0，得a>0，因此f(0)∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.
故正确结论的序号是②③.
方法二 由题设知f(x)＝0有3个不同零点．
设g(x)＝x3－6x2＋9x，g(x)的图象如图，
∴f(x)＝g(x)－abc，若f(x)有3个零点，需将g(x)的图象向下平移至如图所示位置．
观察图象可知，f(0)f(1)<0且f(0)f(3)>0.
故②③正确．
12．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)答案 (0，＋∞)
汇总 构造函数g(x)＝f?x?ex，则g′(x)＝f′?x?－f?x?ex，
因为f′(x)故函数g(x)在R上为减函数，
又f(0)＝12，所以g(0)＝f?0?e0＝12，
则不等式f(x)－12ex<0可化为f?x?ex<12，
即g(x)<12＝g(0)，
所以x>0，即所求不等式的解集为(0，＋∞)．
13．当x∈(0，＋∞)时，不等式c2x2－(cx＋1)ln x＋cx≥0恒成立，则实数c的取值范围是________．
答案 \f(1e)，＋∞)
汇总 当c＝0时，原不等式化为ln x≤0不恒成立．
原不等式因式分解得(cx＋1)(cx－ln x)≥0，x∈(0，＋∞)，
当c>0时，cx＋1>0，由cx－ln x≥0，有c≥ln xx，
令F(x)＝ln xx，F′(x)＝1－ln xx2，所以函数F(x)在区间(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故在x＝e处取得最大值F(e)＝1e，由此可得c≥1e.
当c<0时，cx＋1在\a\vs4\al\co1(0，－\f(1c))上为正数，在\a\vs4\al\co1(－\f(1c)，＋∞)上为负数，而
(六)函数与导数 1．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________. 答案 －2 汇总 ∵y＝＝1＋，∴ y′＝－. ∴曲线在 点(3,2)处的切线斜率k＝－. ∴－a＝2，即a＝－2. 2．(2019·南通、扬州、泰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x＋t与曲线y＝asin x＋bcos x(a，b，t∈R)相切于点(0,1)，则(a＋b)t的值为________ ． 答案 4 汇总 y＝asin x＋bcos x的导数为y′＝acos x－bsin x，在x＝0处的切线的斜率为k＝3， 即acos 0－bsin 0＝3， 又切点(0,1)同时在直线和曲线上，有[来源:] 所以(a＋b)t＝4. 3．已知函数f(x)＝x－1－(e－1)ln x，其中e为 自然对数的底数，则满足f(ex)<0的x的取值范围为________． 答案 (0,1) 汇总 f(x)的定义域为(0，＋∞)． 由f(x)＝x－1－(e－1)ln x，得f′(x)＝1－， 所以f(x)在(0，e－1)上
4．已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．答案 \a\vs4\al\co1(－∞，\f(12))
汇总 ∵f′(x)＝2a－1?x＋2?2，且函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－2，＋∞)上恒成立，∴a≤12.
当a＝12时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去．
∴a<12.
5．已知a≤1－xx＋ln x对任意x∈\f(12)，2)恒成立，则a的最大值为________．
答案 0
汇总 令f(x)＝1－xx＋ln x，x∈\f(12)，2)，
则f′(x)＝x－1x2，x∈\f(12)，2).
当x∈\f(12)，1)时，f′(x)<0，当x∈[1,2]时，f′(x)≥0，
∴f(x)在\f(12)，1)上单调递减，在[1,2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a的最大值为0.
6．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________．
答案 (0,1)
汇总 f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值．
当a>0时，f′(x)＝3(x－a)(x＋a)．
当x∈(－∞，－a)和(a，＋∞)时，f(x)单调递增；
当x∈(－a，a)时，f(x)单调递减，
所以当0
答案 －12
汇总 ∵f′(x)＝3x2－3x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.
∴在[－1,1]上，当x∈[－1,0)时，f′(x)>0，
当x∈(0,1]时，f′(x)≤0，
f(x)在[－1,0)上单调递增，在(0,1]上单调递减．
∴x＝0是f(x)的极大值点，也是最大值点，
∴f(x)max＝f(0)＝a＝2，
∴f(x)＝x3－32x2＋2.
又f(－1)＝－12，f(1)＝32，
∴f(x)在[－1,1]上的最小值为－12.
8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
答案 4
汇总 当x＝0时，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.
设g(x)＝3x2－1x3，x≠0，则g′(x)＝3?1－2x?x4，x≠0.
所以g(x)在区间\a\vs4\al\co1(0，\f(12))上单调递增，
在区间\f(12)，1)上单调递减．
因此当x∈(0,1]时，g(x)max＝g\a\vs4\al\co1(\f(12))＝4，从而a≥4；
当x<0，即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤3x2－1x3，g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
因此当x∈[－1,0)时，g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.所以a＝4.
9．已知直线y＝a分别与直线y＝2x－2，曲线y＝2ex＋x交于点A，B，则线段AB长度的最小值为________．
答案 3＋ln 22
汇总 作曲线y＝2ex＋x的切线，使切线与直线y＝2x－2平行，
设切点为M(x0,2＋x0)，易得y′＝2ex＋1，
则切线的斜率k＝2＋1＝2?x0＝ln 12，
故M\a\vs4\al\co1(ln \f(112)，
故切线方程为y＝2x＋1＋ln 2，切线与x轴的交点坐标为\a\vs4\al\co1(－\f(1＋ln 22)，0).
已知直线y＝2x－2与x轴的交点坐标为(1,0)，故AB长的最小值为1－\a\vs4\al\co1(－\f(1＋ln 22))＝3＋ln 22.
10．如果函数y＝f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x1，x2，x3，满足|xi－2|f(xi)＝1(i＝1,2,3)，则称函数f(x)具有性质Ω.已知函数f(x)＝aex具有性质 Ω，则实数a的取值范围为________．
答案 \a\vs4\al\co1(\f(1e)，＋∞)
汇总 由题意知，若f(x)具有性质Ω，
则在定义域内|x－2|f(x)＝1有3个不同的实数根，
∵ f(x)＝aex，∴ 1a＝|x－2|·ex，
即方程1a＝|x－2|·ex在R上有3个不同的实数根．
设g(x)＝|x－2|·ex＝?x－2?·ex，x≥2，?2－x?·ex，x<2，)
当x≥2时，g′(x)＝(x－1)·ex>0，
即g(x)在[2，＋∞)上单调递增；
当x<2时，g′(x)＝(1－x)·ex，令g′(x)>0，得x<1，令g′(x)<0，得x>1，∴g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又∵ g(1)＝e，g(2)＝0，g(x)在R上连续，
∴方程1a＝|x－2|·ex在R上有3个不同的实数根即函数g(x)与y＝1a的图象有3个交点．
∴0<1a
11．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a
其中正确结论的序号是________．
答案 ②③
汇总 方法一 由f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，
得f′(x)＝3x2－12x＋9.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.
当x<1时，f′(x)>0；
当1
∴当x＝1时，f(x)有极大值，
当x＝3时，f(x)有极小值．
∵函数f(x)有三个零点，
∴f(1)>0，f(3)<0，
且a<1
∴abc>0，得a>0，因此f(0)
故正确结论的序号是②③.
方法二 由题设知f(x)＝0有3个不同零点．
设g(x)＝x3－6x2＋9x，g(x)的图象如图，
∴f(x)＝g(x)－abc，若f(x)有3个零点，需将g(x)的图象向下平移至如图所示位置．
观察图象可知，f(0)f(1)<0且f(0)f(3)>0.
故②③正确．
12．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)
汇总 构造函数g(x)＝f?x?ex，则g′(x)＝f′?x?－f?x?ex，
因为f′(x)
又f(0)＝12，所以g(0)＝f?0?e0＝12，
则不等式f(x)－12ex<0可化为f?x?ex<12，
即g(x)<12＝g(0)，
所以x>0，即所求不等式的解集为(0，＋∞)．
13．当x∈(0，＋∞)时，不等式c2x2－(cx＋1)ln x＋cx≥0恒成立，则实数c的取值范围是________．
答案 \f(1e)，＋∞)
汇总 当c＝0时，原不等式化为ln x≤0不恒成立．
原不等式因式分解得(cx＋1)(cx－ln x)≥0，x∈(0，＋∞)，
当c>0时，cx＋1>0，由cx－ln x≥0，有c≥ln xx，
令F(x)＝ln xx，F′(x)＝1－ln xx2，所以函数F(x)在区间(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故在x＝e处取得最大值F(e)＝1e，由此可得c≥1e.
当c<0时，cx＋1在\a\vs4\al\co1(0，－\f(1c))上为正数，在\a\vs4\al\co1(－\f(1c)，＋∞)上为负数，而
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