2020届广东省中山市中山纪念中学高三上学期第一次质量检测数学试题

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"\r\u0013 PAGE \\* MERGEFORMAT \u00141\u0015\r汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！\r中山纪念中2019-2020年高三校内第一次质量检测试题\r文数\r一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.\r1.设复数，，则在复平面内对应的点位于（ ）\rA. 第一象限\tB.

A. >（1－a）b B. （1＋a）a>（1＋b）b
C. （1－a）b> D. （1－a）a>（1－b）b
【答案】D
【汇总】
试题分析：取，结合指数函数单调性可知
考点：利用单调性比较大小
9.已知是三个不重合的平面，是直线，给出下列命题：①若，则；②若上两点到的距离相等，则；③若，则；④若，且，则.其中正确的命题是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】D
【汇总】
分析：由空间平面与平面之间位置关系的定义及判定方法，可以判断①的正误；根据空间直线与平面位置关系的定义及判定方法，可以判断②与④的正误；根据线面垂直的判定方法可以得到③为真命题，综合判断结论，即可得到答案．
解答：解：若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，也可能平行，故①错误；
若l上两点到α的距离相等，则l与α可能相交，也可能平行，故②错误；
若l∥β，则存在直线a?β，使l∥a，又l⊥α，∴a⊥α，则α⊥β，故③正确；
若α∥β，且l∥α，则l?β或l∥β，又由l?β，∴l∥β，故④正确；
故选D
10.已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【汇总】
【分析】
根据函数奇偶性的性质，推断出函数的周期是8，利用函数奇偶性和周期性进行转化求解即可．
【详解】奇函数 的定义域为，若为偶函数，
，且，
则，则，
则函数的周期是8，且函数关于对称，
则（1），
，
则，
故选．
【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的性质求出函数的周期是解决本题的关键．
11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【汇总】
【分析】
根据题意,画出三棱锥,将三棱锥补全为四棱柱,则四棱柱的外接球即为三棱锥的外接球.由球的表面积,可得四棱柱底面两边的等量关系.表示出三棱锥的体积,即可根据不等式性质求得体积的最大值.
【详解】根据题意,画出三棱锥,将三棱锥补全为四棱柱,如下图所示:
则四棱柱的外接球即为三棱锥的外接球.
设
则球的半径为
所以由球表面积为可得
化简可得
所以三棱锥的体积为
由不等式性质可知,所以
所以
即三棱锥体积的最大值为
故选:C
【点睛】本题考查了三棱锥外接球表面积,三棱锥与四棱柱外接球的关系,不等式的性质应用,三棱锥体积的求法,属于中档题.
12.若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. （1,8） C. （4,8） D.
【答案】D
【汇总】
【分析】
根据分段函数单调性列不等式，解得结果.
【详解】因为函数是R上的单调递增函数，
所以
故选：D
【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数，则 ______．
【答案】1
【汇总】
【分析】
根据自变量范围代入对应汇总式，即得结果.
【详解】根据题意，，则；
故答案为1．
【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为___________.
【答案】
【汇总】
【分析】
由主视图、俯视图得到三棱柱的侧视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，从而可得结果.
【详解】由三视图得到三棱柱的侧视图为以底面正三角形的高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，
所以侧视图的面积为，故答案为 .
【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
15.抛物线y2=8x上一点M（x0，y0）到其焦点的距离为6，则点M到坐标原点O的距离为______．
【答案】
【汇总】
【分析】
根据抛物线定义求点M坐标，再根据两点间距离公式得结果.
【详解】根据题意，抛物线的准线方程为，
若抛物线上一点到其焦点的距离为6，则其到准线的距离也为6，则，
解可得：，又由M在抛物线上，则，
则M到坐标原点O的距离，
故答案为
【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
16.已知函数，对任意，且，都有，则实数的取值范围是______.
【答案】
【汇总】
【分析】
根据函数汇总式可知函数为偶函数.由不等式可知函数在为单调递增函数.即可根据函数单调性求得导函数,令导函数大于0.即可分离参数,构造函数,并利用导函数求得最值,进而求得的取值范围.
【详解】函数,由汇总式可知函数为偶函数
由不等式可知函数在为单调递增函数
所以当时,
所以
即
令
则
令,解得
当时, ,则在时单调递减
当时, ,则在时单调递增
所以当时,取得最小值,即
所以
同理可求得当时,
综上可知,的取值范围为
故答案为:
【点睛】本题考查了函数单调性与偶函数的综合应用,导数与单调性的关系,分离参数法与构造函数法求参数的取值范围,属于中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
17.如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点．
（１）证明：平面平面；
（２）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．
【答案】（Ⅰ）见汇总；（Ⅱ）.
【汇总】
试题分析：（１）由面面垂直的判定定理很容易得结论；（２）所求三棱锥底面积容易求得，是本题转化为求三棱锥的高，利用直线与平面所成的角为，作出线面角，进而可求得的值，则可得的长．
试题汇总：（1）如图，因为三棱