等比数列-2019-2020学年高一数学知识讲学
等比数列-2019-2020学年高一数学知识讲学，扫描并关注下面的二维码，获取相关答案！
1时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；
(4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．
【典题精练】
考点1、等比数列的通项公式
例1．【云南省中央民族大学附属中学芒市国际学校2017-2018学年高二下学期期中】数列满足,则此数列的通项公式________
【答案】.
【汇总】
，
，则
数列是以为首项，为公比的等比数列
，
故答案为
考点点睛：求等比数列的通项公式与求等差数列的通项公式一样，运用方程的思想，建立基本量的方程(或方程组)求解，在a1，an，n，q四个量中，已知三个可求另一个．
考点2、等比数列的判定与证明
例2．已知方程的两个根为，且.
（1）用表示.
（2）求证：是等比数列.
（3）若，求数列的通项公式.
【答案】（1）；（2）证明见汇总；（3）
【汇总】
（1）由韦达定理，得代入题设条件，
得，即.
（2）∵，
∴是公比为的等比数列.
（3）由（2）知，.
∵，∴.
考点点睛：判定数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：an＋1an＝q(常数)或anan－1＝q(常数)(n≥2)?{an}为等比数列．
(2)等比中项法a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)?{an}为等比数列．
(3)通项法：an＝a1qn－1(其中a1、q为非零常数，n∈N*)?{an}为等比数列．
考点3、等比中项
例3．【北京市东城二十二中2016-2017学年高一下学期期中】求与的等差中项为__________，等比中项为__________．
【答案】
【汇总】
和的等差中项为：，
和的等比中项为．
考点点睛：等比中项的应用主要有两点：①计算，与其它性质综合应用，起到简化计算、提高解题速度的作用．②用来判断或证明等比数列．
考点4、等比数列的性质
例4．若数列是等比数列，下列命题正确的个数为（ ）
① 、均为等比数列； ②成等差数列；
③、成等比数列； ④、均为等比数列
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【汇总】
若数列{an}是等比数列，且首项为a1，公比为q，则an=a1?qn﹣1，
则=a12?q2（n﹣1），这是一个以a12为首项，以q2为公比的等比数列，a2n=a1?q2n﹣1=a1q?q2（n﹣1）=a2?q2（n﹣1），这是一个以a2为首项，以q2为公比的等比数列，故①正确；
当q＜0时，数列{an}存在负项，此时lgan无意义，故②错误；
=?（n﹣1），这是一个以为首项，以为公比的等比数列，|an|=|a1|?|q|n﹣1，这是一个以|a1|为首项，以|q|为公比的等比数列，故③正确；
当c=0时，can=0，此时数列{can}不是等比数列，当k=﹣a1时，a1+k=0，此时{an+k}不是等比数列，当k=a1时，a1﹣k=0，此时{an﹣k}不是等比数列，故④错误
故选：C．
考点点睛：
(1)若{an}为等比数列，则{1an}，{|an|}，{a2n}，{pan}(p≠0)，{anan＋k}均为等比数列；
(2)若{an}，{bn}均为等比数列，则{anbn}，{anbn}都是等比数列．
(3)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
(4)若等比数列的下标具有某种规律时，应考虑应用性质求解．
考点5、等比数列的设项技巧
例5．已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．
【答案】－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.
【汇总】
设四个数为2aq－a、aq、a、aq，
则由题意得\f(a2q2aq)－a?·aq＝－128，解得a＝8q＝4)或a＝－8q＝4).
因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.
考点点睛：等比数列中的设项方法与技巧
(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或aq，a，aq.
(2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设aq3，aq，aq，aq3.
考点6、方程思想在等比数列中的应用
例6．已知等比数列{an}中，a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝12，求n.
【答案】9
【汇总】
解法一：设等比数列{an}的公比为q，
由题意，得a1q2＋a1q5＝36a1q3＋a1q6＝18)，解得a1＝12812).
∴an＝a1qn－1＝128×(12)n－1＝12，∴(12)n－1＝(12)8，∴n－1＝8，∴n＝9.
解法二：设等比数列{an}的公比为q，∵a3＋a6＝36，
∴an＋a7＝a3q＋a6q＝q(a3＋a6)＝36q＝18，∴q＝12.
∴a3＋a6＝a3＋a3q3＝a3(1＋q3)＝98a3＝36，∴a3＝32，∴an＝a3qn－3＝32×(12)n－3＝12，
∴(12)n－3＝(12)6，∴n－3＝6，∴n＝9.
专题07 等比数列(深度精讲)（原卷版）.doc：2019-2020学年高一数学知识讲学（必修5）
专题07等比数列
【知识导图】
【目标导航】
1.记住并理解等比数列的定义，并能用定义判断一个数列是否为等比数列；
2．记住等比数列的通项公式，并能进行相关运算；
3记住等比中项的定义，并能进行简单的应用.
4记住等比数列的常见性质，并会用这些性质解答一些简单的等比数列问题.
【重难点精讲】
重点一、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．
重点二、等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为 q(q≠0)，
填表：
递推公式
通项公式
anan－1＝q(n≥2)
an＝a1qn－1
重点三、等比中项
(1)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项．
(2)如果G是x和y的等比中项，那么G2＝xy，即G＝±xy.
重点四、等比数列的项与序号的关系
(1)两项关系
通项公式的推广：
an＝am·qn－m(m、n∈N*)．
(2)多项关系
项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，
则am·an＝ap·aq.
特别地，若m＋n＝2p(m、n、p∈N*)，
则am·an＝a2p.
重点五、等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝a2n-12 (n为正奇数)．
重点六、等比数列的运算数列的性质
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则
①{c·an}(c是非零常数)是公比为cq的等比数列；
②{|an|}是公比为|q|的等比数列．
(2)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
重点七
2019-2020年高一数知识讲（必修5） 专题07等比数列 【知识导图】 【目标导航】 1.记住并理解等比数列的定义，并能用定义判断一个数列是否为等比数列； 2．记住等比数列的通项公式，并能进行相关运算； 3记住等比中项的定义，并能进行简单的应用. 4记住等比数列的常见性质，并会用这些性质解答一些简单的等比数列问题. 【重难点精讲】 重点一、等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示． 重点二、等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为 q(q≠0)， 填表： 递推公式通项公式＝q(n≥2)an＝a1qn－1 重点三、等比中项 (1)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项． (2)如果G是x和y的等比中项，那么G2＝xy，即G＝±. 重点四、等比数列的项与序号的关系 (1)两项关系 通项公式的推广： an＝am·qn－m(m、n∈N* 压缩包中的资料: 专题07 等比数列(深度精讲)（汇总版）.doc 专题07 等比数列(深度精讲)（原卷版）.doc
(2)当a1>0,0(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；
(4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．
【典题精练】
考点1、等比数列的通项公式
例1．【云南省中央民族大学附属中学芒市国际学校2017-2018学年高二下学期期中】数列满足,则此数列的通项公式________
【答案】.
【汇总】
，
，则
数列是以为首项，为公比的等比数列
，
故答案为
考点点睛：求等比数列的通项公式与求等差数列的通项公式一样，运用方程的思想，建立基本量的方程(或方程组)求解，在a1，an，n，q四个量中，已知三个可求另一个．
考点2、等比数列的判定与证明
例2．已知方程的两个根为，且.
（1）用表示.
（2）求证：是等比数列.
（3）若，求数列的通项公式.
【答案】（1）；（2）证明见汇总；（3）
【汇总】
（1）由韦达定理，得代入题设条件，
得，即.
（2）∵，
∴是公比为的等比数列.
（3）由（2）知，.
∵，∴.
考点点睛：判定数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：an＋1an＝q(常数)或anan－1＝q(常数)(n≥2)?{an}为等比数列．
(2)等比中项法a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)?{an}为等比数列．
(3)通项法：an＝a1qn－1(其中a1、q为非零常数，n∈N*)?{an}为等比数列．
考点3、等比中项
例3．【北京市东城二十二中2016-2017学年高一下学期期中】求与的等差中项为__________，等比中项为__________．
【答案】
【汇总】
和的等差中项为：，
和的等比中项为．
考点点睛：等比中项的应用主要有两点：①计算，与其它性质综合应用，起到简化计算、提高解题速度的作用．②用来判断或证明等比数列．
考点4、等比数列的性质
例4．若数列是等比数列，下列命题正确的个数为（ ）
① 、均为等比数列； ②成等差数列；
③、成等比数列； ④、均为等比数列
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【汇总】
若数列{an}是等比数列，且首项为a1，公比为q，则an=a1?qn﹣1，
则=a12?q2（n﹣1），这是一个以a12为首项，以q2为公比的等比数列，a2n=a1?q2n﹣1=a1q?q2（n﹣1）=a2?q2（n﹣1），这是一个以a2为首项，以q2为公比的等比数列，故①正确；
当q＜0时，数列{an}存在负项，此时lgan无意义，故②错误；
=?（n﹣1），这是一个以为首项，以为公比的等比数列，|an|=|a1|?|q|n﹣1，这是一个以|a1|为首项，以|q|为公比的等比数列，故③正确；
当c=0时，can=0，此时数列{can}不是等比数列，当k=﹣a1时，a1+k=0，此时{an+k}不是等比数列，当k=a1时，a1﹣k=0，此时{an﹣k}不是等比数列，故④错误
故选：C．
考点点睛：
(1)若{an}为等比数列，则{1an}，{|an|}，{a2n}，{pan}(p≠0)，{anan＋k}均为等比数列；
(2)若{an}，{bn}均为等比数列，则{anbn}，{anbn}都是等比数列．
(3)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
(4)若等比数列的下标具有某种规律时，应考虑应用性质求解．
考点5、等比数列的设项技巧
例5．已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．
【答案】－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.
【汇总】
设四个数为2aq－a、aq、a、aq，
则由题意得\f(a2q2aq)－a?·aq＝－128，解得a＝8q＝4)或a＝－8q＝4).
因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.
考点点睛：等比数列中的设项方法与技巧
(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或aq，a，aq.
(2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设aq3，aq，aq，aq3.
考点6、方程思想在等比数列中的应用
例6．已知等比数列{an}中，a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝12，求n.
【答案】9
【汇总】
解法一：设等比数列{an}的公比为q，
由题意，得a1q2＋a1q5＝36a1q3＋a1q6＝18)，解得a1＝12812).
∴an＝a1qn－1＝128×(12)n－1＝12，∴(12)n－1＝(12)8，∴n－1＝8，∴n＝9.
解法二：设等比数列{an}的公比为q，∵a3＋a6＝36，
∴an＋a7＝a3q＋a6q＝q(a3＋a6)＝36q＝18，∴q＝12.
∴a3＋a6＝a3＋a3q3＝a3(1＋q3)＝98a3＝36，∴a3＝32，∴an＝a3qn－3＝32×(12)n－3＝12，
∴(12)n－3＝(12)6，∴n－3＝6，∴n＝9.
专题07 等比数列(深度精讲)（原卷版）.doc：2019-2020学年高一数学知识讲学（必修5）
专题07等比数列
【知识导图】
【目标导航】
1.记住并理解等比数列的定义，并能用定义判断一个数列是否为等比数列；
2．记住等比数列的通项公式，并能进行相关运算；
3记住等比中项的定义，并能进行简单的应用.
4记住等比数列的常见性质，并会用这些性质解答一些简单的等比数列问题.
【重难点精讲】
重点一、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．
重点二、等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为 q(q≠0)，
填表：
递推公式
通项公式
anan－1＝q(n≥2)
an＝a1qn－1
重点三、等比中项
(1)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项．
(2)如果G是x和y的等比中项，那么G2＝xy，即G＝±xy.
重点四、等比数列的项与序号的关系
(1)两项关系
通项公式的推广：
an＝am·qn－m(m、n∈N*)．
(2)多项关系
项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，
则am·an＝ap·aq.
特别地，若m＋n＝2p(m、n、p∈N*)，
则am·an＝a2p.
重点五、等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝a2n-12 (n为正奇数)．
重点六、等比数列的运算数列的性质
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则
①{c·an}(c是非零常数)是公比为cq的等比数列；
②{|an|}是公比为|q|的等比数列．
(2)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
重点七
! 学科网每份资料都启用了数字版权保护，仅限个人学习研究使用。任何分享、转载行为都会导致账号被封，情节严重者，追究法律责任！
