直接讨论法-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全
直接讨论法-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全，扫描并关注下面的二维码，获取相关答案！
∴f(x)在[0，1a]上单调递减，在[1a，1]上单调递增．∴f(x)min＝f(1a)＝1a－2a＝－1a,满足题意
②当1a>1，即0∴f(x)min＝f(1)＝a－2.不满足题意。
(3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下且对称轴x＝1a<0，在y轴的左侧，
∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝a－2.不满足题意。.
综上可得。
类型三：直接构造函数，导函数两个极值点的大小引起分类讨论
【例4】设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值； (2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
【汇总】(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.，而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，
则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.
令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.
① 若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，
即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在[－2，＋∞)上的最小值为F(x1)．
而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0. 故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
② 若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
③ 若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上，k的取值范围是[1，e2]．
【例5】【山东省济宁市2020届高三模拟】已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式时恒成立，求的取值范围．
【汇总】（1），
①若，，在上单调递增；
②若,当时，，当时，，
所以是函数的单调递增区间，是函数的单调减区间，
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。
（2）由题意可知，不等式可转化为在时恒成立，
令，，
①若，则，在上单调递减，
所以，不等式恒成立等价于，即；
②若，则，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意；
③若，当时，，在上单调递增，
所以，不符合题意；
综上所述，。
【类题展示】【东北三省三校2020届高三模拟】已知函数，.
（Ⅰ）求证：曲线与在处的切线重合；
（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【汇总】证明:(Ⅰ)，在处的切线方程为，，在处的切线方程为
所以曲线与在
∴f(x)在[0，1a]上单调递减，在[1a，1]上单调递增．∴f(x)min＝f(1a)＝1a－2a＝－1a,满足题意
②当1a>1，即0
(3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下且对称轴x＝1a<0，在y轴的左侧，
∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝a－2.不满足题意。.
综上可得。
类型三：直接构造函数，导函数两个极值点的大小引起分类讨论
【例4】设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值； (2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
【汇总】(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.，而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，
则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.
令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.
① 若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，
即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在[－2，＋∞)上的最小值为F(x1)．
而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0. 故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
② 若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
③ 若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上，k的取值范围是[1，e2]．
【例5】【山东省济宁市2020届高三模拟】已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式时恒成立，求的取值范围．
【汇总】（1），
①若，，在上单调递增；
②若,当时，，当时，，
所以是函数的单调递增区间，是函数的单调减区间，
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。
（2）由题意可知，不等式可转化为在时恒成立，
令，，
①若，则，在上单调递减，
所以，不等式恒成立等价于，即；
②若，则，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意；
③若，当时，，在上单调递增，
所以，不符合题意；
综上所述，。
【类题展示】【东北三省三校2020届高三模拟】已知函数，.
（Ⅰ）求证：曲线与在处的切线重合；
（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【汇总】证明:(Ⅰ)，在处的切线方程为，，在处的切线方程为
所以曲线与在
! 学科网每份资料都启用了数字版权保护，仅限个人学习研究使用。任何分享、转载行为都会导致账号被封，情节严重者，追究法律责任！
备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全
