数形结合法-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全
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【例】已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，ln?x＋1?，x>0.)若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是 ( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
【汇总】函数y＝|f(x)|的图象如图．
①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．
②当a>0时，只需在x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．
③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．即a≥x－2成立，∴a≥－2.
综上所述：－2≤a≤0.故选D.
【例】．
（1）若在区间上单调递增,求实数的取值范围；
（2）若存在唯一整数,使得成立,求实数的取值范围．
【汇总】（1）函数的定义域为, ,要使在区间上单调递增,
只需,即在上恒成立即可,易知在上单调递
增,所以只需即可,易知当时, 取最小值, ,
∴实数的取值范围是.
（2）不等式即,令,
则, 在上单调递增,而,
∴存在实数,使得,
当时, , 在上单调递减；
当时, , 在上单调递增,
∴.,画出函数和的大致图象如下,
的图象是过定点的直线,，由图可知若存在唯一整数,使得成立,
则需,而,∴．
∵,∴．于是实数的取值范围是．
【类题展示1】已知函数f(x)＝－x2＋4x－3，x≤1，lnx，x＞1.) 若|f(x)|＋a≥ax，则a的取值范围是________．
【分析】先把含有a的项移到右边，利用y＝|f(x)|的图象和直线y＝ax－a的关系求a的取值范围。
【汇总】由|f(x)|＋a≥ax得|f(x)|≥ax－a，作出y＝|f(x)|的图象和直线y＝ax－a，如图所示．设x≤1时，h(x)＝|f(x)|＝x2－4x＋3，设过点A(1，0)的函数h(x)图象的切线斜率为k，则k＝h′(1)＝2×1－4＝－2.由图可知，当－2≤a≤0时，|f(x)|的图象在直线y＝ax－a上方，即|f(x)|＋a≥ax成立．所以a的取值范围是[－2，0]．故填[－2，0]．
【答案】[－2，0]
【点评】此类问题通常是通过变形，构造一条定曲线与一条动直线，借助直线的旋转或平移确定参数范围。
【类题展示2】已知对任意实数,关于的不等式在上恒成立,则的最大整数值为______
【答案】-1
【汇总】构造函数，，故函数在上递增，在上递减.画出函数的图像如下图所示.是横截距为，斜率为的一次函数，图像为直线，当时，在上不恒成立.当时，，故当时不成立.当时，取，设与相切于点，则，解得，成立.故的最大值为
(三) 型,其中的图象均为曲线
【例】当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】(1,2]
【汇总】设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<恒成立，只需
f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝图象的下方即可．
（1）当0（2）当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝
的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，又即loga2≥1，所以1即实数a的取值范围是(1,2]．
【例】已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，1)时，均有f(x)<12，则实数a的取值范围是( )
A.\a\vs4\al\co1(0，\f(12))∪[2，＋∞) B.\f(14)，1)∪(1，4]
C.\f(12)，1)∪(1，2] D.\a\vs4\al\co1(0，\f(14))∪[4，＋∞)
【答案】C
【分析】把f(x)<12化为x2－12【汇总】将f(x)<12化为x2－121和0结合图象得a＞1，12)或0＜a＜1，12).解得1【评注】在解题之前要先看看能否通过变形，转化为两个容易作图的函数。
【类题展示1】若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
【答案】(－1，＋∞)
【汇总】不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<\a\vs4\al\co1(\f(12))x.在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝\a\vs4\al\co1(\f(12))x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a<1，所以a>－1.
【类题展示2】设函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.
(1)解不等式f(x)<－1；
(2)设函数g(x)＝|x＋a|－4，且g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，求实数a的取值范围．
【汇总】(1)∵函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|＝4，x<－1，2－2x，－1≤x≤3，－4，x>3，
故由不等式f(x)<－1可得x>3或2－2x<－1，－1≤x≤3.)解得x>32.
(2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在
x∈[－2,2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，
如图所示．故当x∈[－2,2]时，若0≤－a≤4时，则函数g(x)在函数f(x)的图象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4,0]．
(四) 型
【例】已知定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝|x－a2|－a2，且对x∈R，恒有f(x＋1)≥f(x)，则实数a的取值范围为( )
A．[0,2] B.－\f(112)
【例】已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，ln?x＋1?，x>0.)若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是 ( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
【汇总】函数y＝|f(x)|的图象如图．
①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．
②当a>0时，只需在x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．
③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．即a≥x－2成立，∴a≥－2.
综上所述：－2≤a≤0.故选D.
【例】．
（1）若在区间上单调递增,求实数的取值范围；
（2）若存在唯一整数,使得成立,求实数的取值范围．
【汇总】（1）函数的定义域为, ,要使在区间上单调递增,
只需,即在上恒成立即可,易知在上单调递
增,所以只需即可,易知当时, 取最小值, ,
∴实数的取值范围是.
（2）不等式即,令,
则, 在上单调递增,而,
∴存在实数,使得,
当时, , 在上单调递减；
当时, , 在上单调递增,
∴.,画出函数和的大致图象如下,
的图象是过定点的直线,，由图可知若存在唯一整数,使得成立,
则需,而,∴．
∵,∴．于是实数的取值范围是．
【类题展示1】已知函数f(x)＝－x2＋4x－3，x≤1，lnx，x＞1.) 若|f(x)|＋a≥ax，则a的取值范围是________．
【分析】先把含有a的项移到右边，利用y＝|f(x)|的图象和直线y＝ax－a的关系求a的取值范围。
【汇总】由|f(x)|＋a≥ax得|f(x)|≥ax－a，作出y＝|f(x)|的图象和直线y＝ax－a，如图所示．设x≤1时，h(x)＝|f(x)|＝x2－4x＋3，设过点A(1，0)的函数h(x)图象的切线斜率为k，则k＝h′(1)＝2×1－4＝－2.由图可知，当－2≤a≤0时，|f(x)|的图象在直线y＝ax－a上方，即|f(x)|＋a≥ax成立．所以a的取值范围是[－2，0]．故填[－2，0]．
【答案】[－2，0]
【点评】此类问题通常是通过变形，构造一条定曲线与一条动直线，借助直线的旋转或平移确定参数范围。
【类题展示2】已知对任意实数,关于的不等式在上恒成立,则的最大整数值为______
【答案】-1
【汇总】构造函数，，故函数在上递增，在上递减.画出函数的图像如下图所示.是横截距为，斜率为的一次函数，图像为直线，当时，在上不恒成立.当时，，故当时不成立.当时，取，设与相切于点，则，解得，成立.故的最大值为
(三) 型,其中的图象均为曲线
【例】当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】(1,2]
【汇总】设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<恒成立，只需
f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝图象的下方即可．
（1）当0
的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，又即loga2≥1，所以1
【例】已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，1)时，均有f(x)<12，则实数a的取值范围是( )
A.\a\vs4\al\co1(0，\f(12))∪[2，＋∞) B.\f(14)，1)∪(1，4]
C.\f(12)，1)∪(1，2] D.\a\vs4\al\co1(0，\f(14))∪[4，＋∞)
【答案】C
【分析】把f(x)<12化为x2－12
【类题展示1】若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
【答案】(－1，＋∞)
【汇总】不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<\a\vs4\al\co1(\f(12))x.在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝\a\vs4\al\co1(\f(12))x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a<1，所以a>－1.
【类题展示2】设函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.
(1)解不等式f(x)<－1；
(2)设函数g(x)＝|x＋a|－4，且g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，求实数a的取值范围．
【汇总】(1)∵函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|＝4，x<－1，2－2x，－1≤x≤3，－4，x>3，
故由不等式f(x)<－1可得x>3或2－2x<－1，－1≤x≤3.)解得x>32.
(2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在
x∈[－2,2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，
如图所示．故当x∈[－2,2]时，若0≤－a≤4时，则函数g(x)在函数f(x)的图象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4,0]．
(四) 型
【例】已知定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝|x－a2|－a2，且对x∈R，恒有f(x＋1)≥f(x)，则实数a的取值范围为( )
A．[0,2] B.－\f(112)
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