与二次型有关的恒成立与有解问题-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全

高三试卷 2020-03-20 10:39:58 0

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模拟联考答案

3.
故当x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
(三) 恒成立问题
形如的不等式恒成立问题，可设，转化为一元二次不等式，但要注意的范围.
【例】（2019·湖南茶陵三中高一期中）函数是R上的奇函数，m、n是常数.
（1）求m，n的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）；（2）在R上递增，证明见汇总；（3）
【汇总】
【分析】（1）依题意时上的奇函数，则采用特殊值法，即可求出参数的值；
（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（3）根据函数的奇偶性和单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，即对任意恒成立，令，即，对恒成立，令，根据二次函数的性质分析可得；
【详解】（1）∵是上的奇函数，∴∴
∴.
（2）在上递增
证明：设，且，则，
∵∴又，，∴，即，∴是上的增函数.
（3）由题意得：对任意恒成立又是R上的增函数，∴即对任意恒成立，
令，即，对恒成立，
令，对称轴为，
（1）当即时，在为增函数，∴成立，∴符合，
（2）当即时，在为减，为增，
∴，解得，∴.
综上实数k的取值范围为.
【点睛】本题考查利用奇偶性求函数的汇总式，定义法证明函数的单调性，一元二次不等式恒成立问题，综合性较强，属于中档题.
【类题展示】若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】把不等式转化为关于的一元二次不等式.
【汇总】，
当时取得最小值，所以实数a的取值范围是.
【类题展示】设，若函数在上的最大值是3，则其在上的最小值是（）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【汇总】设则.
因为所以当时，；当时，，即于是故选A.
（四）、其它函数：
对于二次函数有：
（1）；
（2）；
（3）恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）．
【

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