江淮十校2022届高三第三次联考（4月）数学试卷

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如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点。

（1）求证：B1C∥平面A1BD；

（2）求二面角A1-BD-A的大小；

（3）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由。

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】试题分析：（1）连结AB1交A1B于M，连结B1C，DM，由已知条件得四边形AA1B1B是矩形，由三角形中位线能证明B1C∥平面A1BD．（2）作CO⊥AB于O，建立空间直角坐标系O-xyz．利用向量法能求出二面角A1-BD-A的大小．（3）设E（1，x，0），求出平面B1C1E的法向量，利用向量法能求出存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，且AE＝

试题解析：

（1）连结AB1交A1B于M，连结DM，

因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，

所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为AB1的中点。

因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，

所以MD∥B1C。

因为MD平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD。

（2）作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1，

所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中如图建立空间直角坐标系O-xyz。

因为AB=2，AA1=，D是AC的中点。

所以A（1，0，0），B（-l，0，0），C（0，0， ），A1（1， ，0），

所以D（，0， ），=（，0， ），=（2， ，0）。

设n=（x，y，z）是平面A1BD的法向量，

所以即，令x=-，则y=2，z=3，

所以n=（–，2，3）是平面A1BD的一个法向量。

由题意可知=（0， ，0）是平面ABD的一个法向量，

所以cos<n， >==。

由题知二面角A1-BD-A为锐角，所以它的大小为。

（3）设E（1，x，0），则=（1，x-，–），=（-1，0，–），

设平面B1C1E的法向量m=（x1，y1，z1），

所以即令z1=-，则x1=3，y1=，

m=（3， ，–），又m·n=0，即-3+-3=0，解得x=，

所以存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且AE=。