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已知函数.
(1)解关于的不等式;
(2)若当时,恒成立,求实数的取值范围.
(1) 当时,不等式解集为;当时,不等式解集为;当时,不等式解集为;当时,不等式解集为;
当时,不等式解集为;(2) 的取值范围是.
【解析】分析:(1)对m分类讨论,利用一元二次不等式的解法解不等式.(2)对m 分类讨论,求的最大值,再令的最大值小于等于4m,即得m的取值范围.
详解:(1)由题意,得
即
①当时,得,解得;
②当时,得,
∵,
∴解得或;
③当时,得,
∵.
当时,,解得;
当时,,,解集为空集;
当时,,解得;
综上所述:当时,不等式解集为;
当时,不等式解集为;
当时,不等式解集为;
当时,不等式解集为;
当时,不等式解集为.
(2)的图像是一条开口向上的抛物线,关于对称.
由题意:.
①若,则在上是增函数,从而
在上的最小值是,最大值是.
由得于是有
解得,∴.
又∵,∴.
②若,此时.
则当时,不恒成立.
综上:使恒成立的的取值范围是.
已知是等差数列, 是等比数列,且 .
(1)数列和的通项公式;
(2)设,求数列前项和.
(1);(2).
【解析】试题分析:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为, 运用等差数列和等比数列的通项公式,列出关于公差与公比的方程组,解方程可得公差和公比的值,从而可得数列和的通项公式;(2)由(1)知, , .因此,利用分组求和法,结合等比数列的求和公式与等差数列的求和公式,化简整理,即可得到数列前项和.
试题解析:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
因为,所以.解得.
又因为,所以.
所以, , .
(2)由(1)知, , .
因此
数列前项和为.
数列的前项和为.
所以,数列的前项和为, .
【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的通项、等差等比数列的求和公式和利用“分组求和法”求数列前项和,属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种:一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差,可以分别用等比数列求和后再相加减;二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差,可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.
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