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如图所示,是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖(假设湖岸是笔直的),其中两腰米,.为了给市民营造良好的休闲环境,公园管理处决定在湖岸,上分别取点,(异于线段端点),在湖上修建一条笔直的水上观光通道(宽度不计),使得三角形和四边形的周长相等.
(1)若水上观光通道的端点为线段的三等分点(靠近点),求此时水上观光通道的长度;
(2)当为多长时,观光通道的长度最短?并求出其最短长度.
(1) 水上观光通道的长度为米;(2) 当米时,水上观光通道的长度取得最小值,最小值为米.
【解析】分析:(1)在等腰中,过点作于,先计算出,,再利用余弦定理求出EF的长度.(2) 设,,先求出EF的表达式,再利用基本不等式求其最短长度.
详解:(1)在等腰中,过点作于,
在中,由,即,∴,,
∴三角形和四边形的周长相等.
∴,即,
∴.
∵为线段的三等分点(靠近点),∴,,
在中,,
∴米.
即水上观光通道的长度为米.
(2)由(1)知,,设,,在中,由余弦定理,得
.
∵,∴.
∴,当且仅当取得等号,
所以,当米时,水上观光通道的长度取得最小值,最小值为米.
已知数列,的首项,且满足,,其中,设数列,的前项和分别为,.
(Ⅰ)若不等式对一切恒成立,求.
(Ⅱ)若常数且对任意的,恒有,求的值.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下且同时满足以下两个条件:
(ⅰ)若存在唯一正整数的值满足;
(ⅱ)恒成立.试问:是否存在正整数,使得,若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
(1)(2)(3)存在正整数,使得,此时,或者.
【解析】分析:(1)根据可得是公差的等差数列,代入等差数列的求和公式即可得出;(2)用表示出和,根据的范围及恒等式得出,可得,从而可得结果;(3)利用条件可得,的通项,求出,,因为,所以,令,则,解之得,,故满足的值为,,,根据分类讨论思想可得出的存在性.
详解:(Ⅰ)由题设数列的首项,公差为,则,
(Ⅱ)因为,,所以,
,故,又因为,
得,所以,
因为,
所以,所以,
故.
(Ⅲ)因为,所以或者,
若时,舍去,
若时,,故,
而,因为,所以,令,则,解之得,,故满足的值为,,,
①当,若,则数列前为:,,,满足,
若,则数列前项为:,,,不满足舍去;
若,则数列前项为:,,,不满足舍去;
若,则数列前项为:,,,不满足舍去;
②当若,则数列前项为:,,不满足;
若,则数列前项为:,,<img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2019/04/16/09/efac0417/SYS20190
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