2022-2023学年高一数学人教A2019必修第一册同步讲义第13讲函数的单调性9种常见题型

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1、第13讲 函数的单调性9种常见题型【考点分析】考点一：函数单调性的定义如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。考点二：单调性的定义的等价形式：设，那么在是增函数；在是减函数；在是减函数。在是增函数。考点三：函数单调性的应用即若在区间上递增（递减）且()；若在区间上递递减且.().考点四：函数单调性的性质在公共定义域内，则增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。考点五：双勾函数及其性质函数叫做双勾函数在上单调递增；在上是单调递减。考点六：复合函数单调性的判断（同增异减）讨论复合函数的单调性时要注意：若，在所讨论的

2、区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数;若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数列表如下:增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减【题型目录】题型一：用定义法证明函数单调性题型二：抽象函数单调性的判断证明题型三：函数单调性定义的理解题型四：基本初等函数的单调性题型五：函绝对值函数的单调性判断题型六：已知函数的单调性求参数范围题型七：分段函数的单调性求参数范围题型八：复合函数单调性（同增异减）题型九：抽象函数单调性解不等式【典型例题】题型一：用定义法证明函数单调性证明函数单调性的步骤:(1)取值:设，是定义域内一

3、个区间上的任意两个量，且；(2)变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；(3)定号:判断差的正负或商与的大小关系；(4)得出结论【例1】证明函数在（0，1）上是减函数。证明：设，且，则因为，且，所以，所以，所以，所以函数在（0，1）上是减函数。【例2】（2021湖北黄石高一期中）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数.【答案】证明见解析解：当时，任取，且，则 .因为，所以，所以，即.所以在上是增函数.【题型专练】1（2020湖南华容县教育科学研究室高一期末）已知函数，且 .(1)求函数的解析式；(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.【答案】(1

4、)，(2)单调递增，证明见解析【分析】（1）直接根据题意代入求值即可；（2）根据定义法判断函数在区间上的单调性即可.（1）因为，所以，所以.（2）函数在上单调递增，证明如下：任取，且，所以，因为，所以所以，即，所以在上单调递增.2.（2022全国高一专题练习）判断 在 的单调性.【答案】函数在 内单调递减，在 内单调递增【分析】根据单调性的定义，假设自变量的大小，作差比较函数值的大小，进而可判断单调性.【详解】设，则 （1）假如，则又，所以故函数单调递减；（2）假如，则又所以故函数单调递增；所以函数在内单调递减，在内单调递增3.（2022贵州黔西高一期末）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，

5、并用定义证明；【答案】在上单调递增，证明见解析【分析】设，由可证得在上单调递增.【详解】在上单调递增，证明如下：设，；，是在上单调递增.题型二：抽象函数单调性的判断证明类型一：型【例1】已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，.试判断在的单调性，并证明；解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减【题型专练】1.已知函数的定义域为，当时，且，试判断函数在定义域上的单调性。解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增2（2022全国高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件： 对任意正数，都有； 当时，； (1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；【答案】(1),，(2)证明见解析【分析】（1）赋值计算得解；（2）根据定义法证明单调性；【详解】(1)得，则，而， 且，则；(2)取定义域中的任意的，且，当时，在上为减函数类型二：型【例1】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有.（1）试说明：函数是上的单调递减函数；解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减【题型专练】1.

6.下列对文本相关内容的理解,不正确的一项是(3分)A.遵义会议后,红军的条件仍然艰苦,但是在、周副等的指挥下,红军先头部队利用黑夜,胜利突过了乌江。B.勤务员小韦虽然只有十五岁,但是服务很尽心,这天晚上他最大的愿望是希望周副好好睡一觉,为此他甚至有埋怨。C.小韦从开始劝周副休息到最后“没有再说什么”,说明他已理解周副的精神世界,成长为一个思想成熟的战士。D.卢参谋的到来,说明这个夜晚的不平静;卢参谋临走时对小韦的低声嘱咐,有对周副的关心,也反映出小韦的委屈。

1、第13讲 函数的单调性9种常见题型【考点分析】考点一：函数单调性的定义如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。考点二：单调性的定义的等价形式：设，那么在是增函数；在是减函数；在是减函数。在是增函数。考点三：函数单调性的应用即若在区间上递增（递减）且()；若在区间上递递减且.().考点四：函数单调性的性质在公共定义域内，则增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。考点五：双勾函数及其性质函数叫做双勾函数在上单调递增；在上是单调递减。考点六：复合函数单调性的判断（同增异减）讨论复合函数的单调性时要注意：若，在所讨论的

2、区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数;若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数列表如下:增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减【题型目录】题型一：用定义法证明函数单调性题型二：抽象函数单调性的判断证明题型三：函数单调性定义的理解题型四：基本初等函数的单调性题型五：函绝对值函数的单调性判断题型六：已知函数的单调性求参数范围题型七：分段函数的单调性求参数范围题型八：复合函数单调性（同增异减）题型九：抽象函数单调性解不等式【典型例题】题型一：用定义法证明函数单调性证明函数单调性的步骤:(1)取值:设，是定义域内一

3、个区间上的任意两个量，且；(2)变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；(3)定号:判断差的正负或商与的大小关系；(4)得出结论【例1】证明函数在（0，1）上是减函数。证明：设，且，则因为，且，所以，所以，所以，所以函数在（0，1）上是减函数。【例2】（2021湖北黄石高一期中）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数.【答案】证明见解析解：当时，任取，且，则 .因为，所以，所以，即.所以在上是增函数.【题型专练】1（2020湖南华容县教育科学研究室高一期末）已知函数，且 .(1)求函数的解析式；(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.【答案】(1

4、)，(2)单调递增，证明见解析【分析】（1）直接根据题意代入求值即可；（2）根据定义法判断函数在区间上的单调性即可.（1）因为，所以，所以.（2）函数在上单调递增，证明如下：任取，且，所以，因为，所以所以，即，所以在上单调递增.2.（2022全国高一专题练习）判断 在 的单调性.【答案】函数在 内单调递减，在 内单调递增【分析】根据单调性的定义，假设自变量的大小，作差比较函数值的大小，进而可判断单调性.【详解】设，则 （1）假如，则又，所以故函数单调递减；（2）假如，则又所以故函数单调递增；所以函数在内单调递减，在内单调递增3.（2022贵州黔西高一期末）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，

5、并用定义证明；【答案】在上单调递增，证明见解析【分析】设，由可证得在上单调递增.【详解】在上单调递增，证明如下：设，；，是在上单调递增.题型二：抽象函数单调性的判断证明类型一：型【例1】已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，.试判断在的单调性，并证明；解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减【题型专练】1.已知函数的定义域为，当时，且，试判断函数在定义域上的单调性。解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增2（2022全国高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件： 对任意正数，都有； 当时，； (1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；【答案】(1),，(2)证明见解析【分析】（1）赋值计算得解；（2）根据定义法证明单调性；【详解】(1)得，则，而， 且，则；(2)取定义域中的任意的，且，当时，在上为减函数类型二：型【例1】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有.（1）试说明：函数是上的单调递减函数；解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减【题型专练】1.