高考数学二轮复习培优专题第22讲圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型,以下展示关于高考数学二轮复习培优专题第22讲圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型的相关内容节选,更多内容请多关注我们
1、第22讲 圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型【考点分析】考点一:弦长公式设,根据两点距离公式注意:设直线为上,代入化简,得;设直线方程为,代入化简,得,其中为直线与圆锥曲线联立后得到的一元二次方程的判别式,为二次项系数考点二:三角形的面积处理方法底高 (通常选弦长做底,点到直线的距离为高)水平宽铅锤高或在平面直角坐标系中,已知的顶点分别为,三角形的面积为 考点三:四边形面积处理方法若四边形对角线与相互垂直,则将四边形面积转化为三角形面积进行解决【题型目录】题型一:求弦长及范围问题题型二:三角形面积及范围问题题型三:四边形面积及范围问题【典型例题】题型一:求弦长及范围问题【例1】已知椭圆
2、:的离心率为且经过点1),直线经过且与椭圆相交于两点(1)求椭圆的标准方程;(2)当求此时直线的方程;【答案】(1);(2)或为.【分析】(1)根据离心率及椭圆过点列方程求解即可;(2)分直线的斜率是否存在两种情况讨论,当直线斜率不存在时验证知不符合题意,斜率存在时,设直线方程,利用弦长公式求出斜率k即可得解.(1),即,又经过点1),解得,所以椭圆方程为.(2)当直线的斜率不存在时,即直线的方程,此时,直线的斜率存在,不妨设直线的方程为,设,联立方程组可得消可得,其判别式, ,整理可得,解得即此时直线方程为或为.【例2】已知椭圆的离心率为,且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点
3、作两条互相垂直的弦AB与CD,求的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据题意,由离心率可得的关系,再将点的坐标代入即可得到椭圆方程;(2)根据题意,先讨论两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,再讨论两条弦斜率均存在且不为0,此时设直线的方程为,则直线的方程为,联立椭圆与直线方程,结合韦达定理与弦长公式分别表示出弦长与弦长,即可得到结果.【详解】(1),所以.设椭圆方程为,将代入,得.故椭圆方程为.(2)当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,易得其中一条弦为长轴,另一条弦长为椭圆的通径为,即;当两条弦斜率均存在且不为0时,设,设直线的方程为,则直线的方程为,将直线
4、的方程代入椭圆方程中,并整理得:,同理,令,则,.综合可知,的取值范围为.【例3】已知椭圆的左焦点,长轴长与短轴长的比是(1)求椭圆的方程;(2)过作两直线交椭圆于四点,若,求证:为定值【答案】(1);(2)证明见解析【分析】(1)由题可知,即可求解的值,进而得到椭圆方程;(2)当直线斜率不存在时,可得,当直线斜率存在时,设直线的方程,与椭圆的方程联立,得到的值,利用弦长公式得到的值,同理可得的值,计算即可.(1)解:由题可知,又,故,所以椭圆的方程为:.(2)证明:当直线斜率不存在时,此时当直线斜率存在时,设直线的方程为,由,得设,则有,因为,所以直线的方程为,同理,所以,综上为定值【题型专
5、练】1椭圆C:左右焦点为,离心率为,点在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程;(2)经过点,倾斜角为直线l与椭圆交于B,C两点,求【答案】(1),(2)【分析】(1)利用椭圆的离心率,过点,及,列方程解出即可得椭圆方程;(2)由已知可得直线l的方程,与椭圆方程联立,利用根与系数的关系及弦长公式求解.(1)解:由题意得,解得,又因为点在椭圆C上,带入得,所以椭圆的标准方程为.(2)解:易得直线l的解析式为,设,联立椭圆的方程得,所以2.已知椭圆:过点且与抛物线:有一个公共的焦点(1)求椭圆与抛物线的方程;(2)过点的直线与椭圆交于,两点,与抛物线交于,两点是否存在这样的直线,使得?若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由【答案】(1),;(2)存在,【分析】(1)由题意椭圆与抛物线共焦点,由焦点得出基本量,即可求出椭圆与抛物线的方程.(2)分直线的斜率存在与不存在,在直线斜率不存在时求出直线方程,并验证是否成立,再求直线斜率存在时,设直线的斜率为,联立直线与椭圆方程,求得当满足时直线的斜率,即可求得直线方程.【详解】(1)由,得,所以椭圆的方程:,由,得,所以抛物线的方程:(2)当直线斜率不存在时
小弟在少林寺学了六年武。2009年,小弟在给他的一封信中说,少林寺受邀参加第一届俄罗斯国际军乐节,他和师兄弟都出国了。总统亲自接见了他们。信的后半部分,小弟提到身边很多师兄弟已开始寻求未来更好的出路。小弟说,自己有两条路可选,一是去曼哈顿的华人街当私人武术教练;另一份工作,也是自己比较倾向的,是和同班一个德国学回巴伐利亚支教。信的末尾小弟问他,到底是选美元还是欧元。
1、第22讲 圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型【考点分析】考点一:弦长公式设,根据两点距离公式注意:设直线为上,代入化简,得;设直线方程为,代入化简,得,其中为直线与圆锥曲线联立后得到的一元二次方程的判别式,为二次项系数考点二:三角形的面积处理方法底高 (通常选弦长做底,点到直线的距离为高)水平宽铅锤高或在平面直角坐标系中,已知的顶点分别为,三角形的面积为 考点三:四边形面积处理方法若四边形对角线与相互垂直,则将四边形面积转化为三角形面积进行解决【题型目录】题型一:求弦长及范围问题题型二:三角形面积及范围问题题型三:四边形面积及范围问题【典型例题】题型一:求弦长及范围问题【例1】已知椭圆
2、:的离心率为且经过点1),直线经过且与椭圆相交于两点(1)求椭圆的标准方程;(2)当求此时直线的方程;【答案】(1);(2)或为.【分析】(1)根据离心率及椭圆过点列方程求解即可;(2)分直线的斜率是否存在两种情况讨论,当直线斜率不存在时验证知不符合题意,斜率存在时,设直线方程,利用弦长公式求出斜率k即可得解.(1),即,又经过点1),解得,所以椭圆方程为.(2)当直线的斜率不存在时,即直线的方程,此时,直线的斜率存在,不妨设直线的方程为,设,联立方程组可得消可得,其判别式, ,整理可得,解得即此时直线方程为或为.【例2】已知椭圆的离心率为,且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点
3、作两条互相垂直的弦AB与CD,求的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据题意,由离心率可得的关系,再将点的坐标代入即可得到椭圆方程;(2)根据题意,先讨论两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,再讨论两条弦斜率均存在且不为0,此时设直线的方程为,则直线的方程为,联立椭圆与直线方程,结合韦达定理与弦长公式分别表示出弦长与弦长,即可得到结果.【详解】(1),所以.设椭圆方程为,将代入,得.故椭圆方程为.(2)当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,易得其中一条弦为长轴,另一条弦长为椭圆的通径为,即;当两条弦斜率均存在且不为0时,设,设直线的方程为,则直线的方程为,将直线
4、的方程代入椭圆方程中,并整理得:,同理,令,则,.综合可知,的取值范围为.【例3】已知椭圆的左焦点,长轴长与短轴长的比是(1)求椭圆的方程;(2)过作两直线交椭圆于四点,若,求证:为定值【答案】(1);(2)证明见解析【分析】(1)由题可知,即可求解的值,进而得到椭圆方程;(2)当直线斜率不存在时,可得,当直线斜率存在时,设直线的方程,与椭圆的方程联立,得到的值,利用弦长公式得到的值,同理可得的值,计算即可.(1)解:由题可知,又,故,所以椭圆的方程为:.(2)证明:当直线斜率不存在时,此时当直线斜率存在时,设直线的方程为,由,得设,则有,因为,所以直线的方程为,同理,所以,综上为定值【题型专
5、练】1椭圆C:左右焦点为,离心率为,点在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程;(2)经过点,倾斜角为直线l与椭圆交于B,C两点,求【答案】(1),(2)【分析】(1)利用椭圆的离心率,过点,及,列方程解出即可得椭圆方程;(2)由已知可得直线l的方程,与椭圆方程联立,利用根与系数的关系及弦长公式求解.(1)解:由题意得,解得,又因为点在椭圆C上,带入得,所以椭圆的标准方程为.(2)解:易得直线l的解析式为,设,联立椭圆的方程得,所以2.已知椭圆:过点且与抛物线:有一个公共的焦点(1)求椭圆与抛物线的方程;(2)过点的直线与椭圆交于,两点,与抛物线交于,两点是否存在这样的直线,使得?若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由【答案】(1),;(2)存在,【分析】(1)由题意椭圆与抛物线共焦点,由焦点得出基本量,即可求出椭圆与抛物线的方程.(2)分直线的斜率存在与不存在,在直线斜率不存在时求出直线方程,并验证是否成立,再求直线斜率存在时,设直线的斜率为,联立直线与椭圆方程,求得当满足时直线的斜率,即可求得直线方程.【详解】(1)由,得,所以椭圆的方程:,由,得,所以抛物线的方程:(2)当直线斜率不存在时