高中数学必修一《分式函数性质及应用》微专题讲义

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1、求解分式函数值域的三种方法一基本原理我们把（此处约定分母均不为零），统称为分式函数，其中后面三种由于含有二次项，称为二次分式函数. 对于第一类的值域，通过转化为反比例函数结合单调性确定，而对于二次分式函数，通常有均值不等式法、判别式法、求导法来求这些函数的最值，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.1均值不等式与双钩函数方法1.1：型函数的处理对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，再利用双钩函数的性质求解.1.2.型.形如可通过换元将问题转化为，然后进行可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域，或者均

2、值不等式.1.3.：同时除以分子：2的模型.1.4.，这就转化成了3的类型.2判别式法：请见例题分析3导数法二典例分析例1. 解：令 ，进而可求出值域： 例2.函数的最小值为_.解析：解法1（均值不等式法）：令，则，所以，当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为3.解法2（判别式法）：将变形为，整理得：，将式看出关于的一元二次方程，其判别式，解得：或，因为，所以，从而，故，注意到当时，所以函数的最小值为3.解法3（求导法）：设，则，所以，从而在上，在上，故.例3（2022全国甲卷）已知中，点D在边BC上，当取得最小值时，_解析:方法1. 余弦定理：设，则在中，在中，故可得：当且仅当即时，

3、等号成立. 所以当取最小值时，.（方法2）判别式法：设，则在中，在中，所以，记，则由方程有解得：，即，解得：所以，此时，所以当取最小值时，即.例4.函数的值域为_解析：所求函数为的形式，所以求得的范围，再取对数即可。对进行变形可得：，从而将视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围解：定义域： 令， 例5.函数的最大值为_.解析：设，则，且，当且仅当，即时取等号，此时，所以函数的最大值为.例6.函数的最大值为_.解析：设，则，因为，所以，当时，；当时，当且仅当，即时等等号，此时，所以函数的最大值为.小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法： ：换元分离常数反比例函数模型 ：换元分离常数（双勾函数、伪勾函数）模型 ：同时除以分子：的模型 ：分离常数的模型三习题演练1.求函数 的值域解：设， ， 2：求函数的值域解：设问题转化为求的值域由均值不等式当时取等号，即3. 函数的最小值为_.解法1（均值不等式法）：由题意，令，则，且，当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为.解法2（判别式法）：将变形为，整理得：，当时，将该方程看成关于x的一元二次方程，其判别式，解得：，注意到当时，所以函数的最小值为.解法3（求导法）：设，则，所以，从而在上，在上，故.

2.根据材料内容,下列说法正确的一项是(3分)A.“场景叙事”比“概要叙事”好,“显示”比“讲述”好,这类当代小说创作的箴规未必公允,须辩证分析。B.当代读者并不喜欢小说中无所不知、专断的“作者声音”;因此,现代小说中议论的衰微乃至消失是必然的。C.那些凭借重重悬念而激发读者阅读兴趣的悬疑、侦探小说,是“议论最小化”的小说,其创作思想抱负较低。D.中国古典长篇小说属于排斥“议论”的纯小说,这是作家自身知识视野的偏狭与文化传统的桎梏决定的。

1、求解分式函数值域的三种方法一基本原理我们把（此处约定分母均不为零），统称为分式函数，其中后面三种由于含有二次项，称为二次分式函数. 对于第一类的值域，通过转化为反比例函数结合单调性确定，而对于二次分式函数，通常有均值不等式法、判别式法、求导法来求这些函数的最值，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.1均值不等式与双钩函数方法1.1：型函数的处理对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，再利用双钩函数的性质求解.1.2.型.形如可通过换元将问题转化为，然后进行可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域，或者均

2、值不等式.1.3.：同时除以分子：2的模型.1.4.，这就转化成了3的类型.2判别式法：请见例题分析3导数法二典例分析例1. 解：令 ，进而可求出值域： 例2.函数的最小值为_.解析：解法1（均值不等式法）：令，则，所以，当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为3.解法2（判别式法）：将变形为，整理得：，将式看出关于的一元二次方程，其判别式，解得：或，因为，所以，从而，故，注意到当时，所以函数的最小值为3.解法3（求导法）：设，则，所以，从而在上，在上，故.例3（2022全国甲卷）已知中，点D在边BC上，当取得最小值时，_解析:方法1. 余弦定理：设，则在中，在中，故可得：当且仅当即时，

3、等号成立. 所以当取最小值时，.（方法2）判别式法：设，则在中，在中，所以，记，则由方程有解得：，即，解得：所以，此时，所以当取最小值时，即.例4.函数的值域为_解析：所求函数为的形式，所以求得的范围，再取对数即可。对进行变形可得：，从而将视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围解：定义域： 令， 例5.函数的最大值为_.解析：设，则，且，当且仅当，即时取等号，此时，所以函数的最大值为.例6.函数的最大值为_.解析：设，则，因为，所以，当时，；当时，当且仅当，即时等等号，此时，所以函数的最大值为.小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法： ：换元分离常数反比例函数模型 ：换元分离常数（双勾函数、伪勾函数）模型 ：同时除以分子：的模型 ：分离常数的模型三习题演练1.求函数 的值域解：设， ， 2：求函数的值域解：设问题转化为求的值域由均值不等式当时取等号，即3. 函数的最小值为_.解法1（均值不等式法）：由题意，令，则，且，当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为.解法2（判别式法）：将变形为，整理得：，当时，将该方程看成关于x的一元二次方程，其判别式，解得：，注意到当时，所以函数的最小值为.解法3（求导法）：设，则，所以，从而在上，在上，故.