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高中数学必修一《重要指对函数大盘点》微专题讲义

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高中数学必修一《重要指对函数大盘点》微专题讲义

1、必修一常考指对型函数大盘点一基本原理1.常见的几类指数型函数模型: 假设且.(1). (2).(3). (4).(5).(6).2.常见的几类对数型函数模型:假设且.(1)(2)都是奇函数.(3)是奇函数.(4)(且)是偶函数.3.5.几个常用的复合函数模型(1)已知二次函数,可复合出等常考模型.(2)二次函数,可复合出:等常见模型.二典例分析例1.(2017年全国卷)函数的单调递增区间是A B C D解析:很基础的一道题目,注意到定义域和同增异减法则即可完成. 答案选D. 例2.(2018全国3卷)已知函数,则_解析:考察对数型复合函数的奇偶性,基础题. 注意到前文6的相关结论,可得答案为-

2、2.例3.(2015全国1卷)若函数为偶函数,则_解析:同例2做法,或者利用特值完成都可,考生要注意到对数型奇偶性问题在高考中考频较高,要注意对6中三个常见模型的识记. 例4已知函数为奇函数,则_.解析:由于函数为奇函数,则,整理得,解得.当时,真数,不合乎题意.当时,解不等式,解得或,此时函数的定义域关于原点对称,合乎题意. 综上所述,.例5若函数的定义域为,则实数的取值范围是ABCD解析:由于函数的定义域为,故在上恒成立,当时,有 在上恒成立,故符合条件;当时,由 ,解得,综上,实数的取值范围是故选B.例6函数的值域为,则的取值范围是( )ABCD解析:函数的值域为,即可取遍所有的值; 当

3、时:满足条件; 当时:; 当时:不成立. 综上:.故选:B点评:对数复合二次函数是高一阶段一种很常见的考题,但对于很多学生来说却难以把握,其认为其关键点有两处:第1,无法及时准确的把握复合函数的相关理论基础,第2,函数思想,分类讨论思想不过关. 例7已知奇函数,.(1)求实数的值;(2)判断在上的单调性并进行证明;(3)若函数满足,求实数m的取值范围.解析:(1)函数是定义在上的奇函数,即,可得.,则,符合题设.(2)证明:由(1)可知,.任取,则 ,即在上单调递增.(3)为奇函数,又在上是奇函数,可化为,又由(2)知在上单调递增,解得.例8已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的取值范围;

4、(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.解析:(1)因为函数是奇函数,所以有,即,解得,从而有.又由知,得.当,则,则,所以,即,所以为奇函数. 所以,.(2)由,由上式易知,函数在是单调递减函数,又函数是奇函数,从而不等式等价于,再由函数的单调性知,上述不等式等价于,即对一切,不等式总成立,即在恒成立.考察函数,是增函数,所以,所以满足题意的实数的取值范围是.例9.已知函数,其中为常数.(1)当时,求函数的值域;(2)若对,恒成立,求实数的取值范围.解析.(1)当时,令,易知,于是等价转化为求函数在R上的值域.因为,所以的值域为.(2)对,恒成立,即,恒成立,设,因为,所以.故等价于

5、,恒成立,即等价于对恒成立,令,易知在上单调递增,所以.令,由基本不等式可知,当且仅当时取等号,所以.所以,即实数a的取值范围是.小结:本题考查不等式的恒成立问题,可按如下规则转化:一般地,已知函数,(1)若,总有成立,故;(2)若,有成立,故;(3)若,有成立,故;(4)若,有,则的值域是值域的子集 例10已知函数是偶函数.(1).并求实数的值;(2).若方程有实数根,求的取值范围;(3).设,若函数与的图象有且仅有一个公共点,求实数的取值范围. 解析:(1)为偶函数,对任意,有, 对恒成立。对恒成立,对恒成立,(2)由题意知有实数根,即:有解。令,则函数的图像与直线有交点。的取值范围是.(3)由(1)知,由题意知有且只有一个实数根,令,则关于的方程有且只有一个正根,若,则,不合题意,舍去;若,则方程的两根异号或方程有两相等正根.方程有两相等正根等价于,解得,方程的两根异号等价于,解得,综上所述,实数的取值范围是.

5.如图所示电路中,电源电压保持不变。闭合开关S,当滑动变阻器R,的滑片P滑到最右端R2时,电压表示示数为9V,定值电阻R1消耗的功率为0.2W;;当滑片P滑到a点时,电压表3V,R1示数为3V,R消耗的功率为3.2W。下列说法正确的是A.电源电压为12VP=UI0.2=91R1B.定值电阻R的阻值为20Ω20ΩR2C.滑动变阻器R,的最大阻值为1350135ΩaD.滑片P在a点时,滑动变阻器消耗的功率为1.2WR2

1、必修一常考指对型函数大盘点一基本原理1.常见的几类指数型函数模型: 假设且.(1). (2).(3). (4).(5).(6).2.常见的几类对数型函数模型:假设且.(1)(2)都是奇函数.(3)是奇函数.(4)(且)是偶函数.3.5.几个常用的复合函数模型(1)已知二次函数,可复合出等常考模型.(2)二次函数,可复合出:等常见模型.二典例分析例1.(2017年全国卷)函数的单调递增区间是A B C D解析:很基础的一道题目,注意到定义域和同增异减法则即可完成. 答案选D. 例2.(2018全国3卷)已知函数,则_解析:考察对数型复合函数的奇偶性,基础题. 注意到前文6的相关结论,可得答案为-

2、2.例3.(2015全国1卷)若函数为偶函数,则_解析:同例2做法,或者利用特值完成都可,考生要注意到对数型奇偶性问题在高考中考频较高,要注意对6中三个常见模型的识记. 例4已知函数为奇函数,则_.解析:由于函数为奇函数,则,整理得,解得.当时,真数,不合乎题意.当时,解不等式,解得或,此时函数的定义域关于原点对称,合乎题意. 综上所述,.例5若函数的定义域为,则实数的取值范围是ABCD解析:由于函数的定义域为,故在上恒成立,当时,有 在上恒成立,故符合条件;当时,由 ,解得,综上,实数的取值范围是故选B.例6函数的值域为,则的取值范围是( )ABCD解析:函数的值域为,即可取遍所有的值; 当

3、时:满足条件; 当时:; 当时:不成立. 综上:.故选:B点评:对数复合二次函数是高一阶段一种很常见的考题,但对于很多学生来说却难以把握,其认为其关键点有两处:第1,无法及时准确的把握复合函数的相关理论基础,第2,函数思想,分类讨论思想不过关. 例7已知奇函数,.(1)求实数的值;(2)判断在上的单调性并进行证明;(3)若函数满足,求实数m的取值范围.解析:(1)函数是定义在上的奇函数,即,可得.,则,符合题设.(2)证明:由(1)可知,.任取,则 ,即在上单调递增.(3)为奇函数,又在上是奇函数,可化为,又由(2)知在上单调递增,解得.例8已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的取值范围;

4、(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.解析:(1)因为函数是奇函数,所以有,即,解得,从而有.又由知,得.当,则,则,所以,即,所以为奇函数. 所以,.(2)由,由上式易知,函数在是单调递减函数,又函数是奇函数,从而不等式等价于,再由函数的单调性知,上述不等式等价于,即对一切,不等式总成立,即在恒成立.考察函数,是增函数,所以,所以满足题意的实数的取值范围是.例9.已知函数,其中为常数.(1)当时,求函数的值域;(2)若对,恒成立,求实数的取值范围.解析.(1)当时,令,易知,于是等价转化为求函数在R上的值域.因为,所以的值域为.(2)对,恒成立,即,恒成立,设,因为,所以.故等价于

5、,恒成立,即等价于对恒成立,令,易知在上单调递增,所以.令,由基本不等式可知,当且仅当时取等号,所以.所以,即实数a的取值范围是.小结:本题考查不等式的恒成立问题,可按如下规则转化:一般地,已知函数,(1)若,总有成立,故;(2)若,有成立,故;(3)若,有成立,故;(4)若,有,则的值域是值域的子集 例10已知函数是偶函数.(1).并求实数的值;(2).若方程有实数根,求的取值范围;(3).设,若函数与的图象有且仅有一个公共点,求实数的取值范围. 解析:(1)为偶函数,对任意,有, 对恒成立。对恒成立,对恒成立,(2)由题意知有实数根,即:有解。令,则函数的图像与直线有交点。的取值范围是.(3)由(1)知,由题意知有且只有一个实数根,令,则关于的方程有且只有一个正根,若,则,不合题意,舍去;若,则方程的两根异号或方程有两相等正根.方程有两相等正根等价于,解得,方程的两根异号等价于,解得,综上所述,实数的取值范围是.

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