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高考数学二轮复习培优专题第9讲利用导数解决整数解及方程根的个数问题

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高考数学二轮复习培优专题第9讲利用导数解决整数解及方程根的个数问题

1、第9讲 利用导数解决整数解及方程根的个数问题 【典例例题】题型一:整数解问题之化为直线与曲线位置关系问题【例1】(2023全国高三专题练习)若关于x的不等式(其中),有且只有两个整数解,则实数a的取值范围是()ABCD【答案】D【解析】【分析】根据给定不等式,构造函数和,作出函数图象,结合图象分析求解作答.【详解】由不等式(),令,当时,当时,即函数在上单调递减,在上单调递增,且当时,恒有,函数,表示恒过定点,斜率为的直线,在同一坐标系内作出函数的图象和直线,如图,因不等式()有且只有两个整数解,观察图象知,-1和0是不等式解集中的两个整数,于是得,即,解得,所以实数a的取值范围是.故选:D【

2、点睛】关键点睛:涉及不等式整数解的个数问题,构造函数,分析函数的性质并画出图象,数形结合建立不等关系是解题的关键.【例2】(2023四川成都七中模拟预测(理)已知不等式恰有2个整数解,则a的取值范围为()ABCD【答案】C【解析】【分析】首先通过不等式分析,排除的可能性,对于,将不等式分离参数,得到,分析排除的情况,然后令,利用导数分析其单调性,结合函数的正负值和零点,极值点分析,得到函数的大致图象,然后观察图象分析,将问题要求等价转化为,进而求解.【详解】当时,即为,即,不成立;当时不等式等价于,由于,故不成立;当时,不等式等价于,若,则不等式对于任意的恒成立,满足不等式的整数有无穷多个,不

3、符合题意;当时,令,则,在上,单调递增,在上,单调递减,且在(上,在上,又在趋近于时,趋近于0,在上的图象如图所示:,当时,不等式等价于有两个整数解,这两个整数解必然是和0,充分必要条件是,即,,故选:C【点睛】分类讨论是解决这类问题的重要方法,利用导数研究单调性后要结合函数的零点和极值,极限值进行分析,然后利用数形结合思想找到题设要求的充分必要条件,是问题解决的关键步骤.【例3】(2022辽宁辽阳市第一高级中学高二期末)已知函数,若有且只有两个整数解,则k的取值范围是()ABCD【答案】C【解析】【分析】将问题化为有且只有两个整数解,利用导数研究的性质,并画出与的图象,判断它们交点横坐标的范

4、围,列不等式组求k的范围.【详解】由题设,定义域为,则可得,令,则,所以时,即递增,值域为;时,即递减,值域为;而恒过,函数图象如下:要使有且只有两个整数解,则与必有两个交点,若交点的横坐标为,则,所以,即.故选:C【点睛】关键点点睛:首先转化为有且只有两个整数解,导数研究函数性质,再应用数形结合法判断、交点横坐标范围,即可求参数范围.【题型专练】1.(2022福建莆田二中高二期中)设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是 ()ABCD【答案】D【解析】【分析】根据给定条件,构造函数,将问题转化为存在唯一的整数使得在直线下方,再借助导数探讨求解作答.【详解】令,显然直线恒过点,则“

5、存在唯一的整数,使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”,当时,当时,即在上递减,在上递增,则当时,当时,而,即当时,不存在整数使得点在直线下方,当时,过点作函数图象的切线,设切点为,则切线方程为:,而切线过点,即有,整理得:,而,解得,因,又存在唯一整数使得点在直线下方,则此整数必为2,即存在唯一整数2使得点在直线下方,因此有,解得,所以的取值范围是.故选:D【点睛】思路点睛:解决过某点的函数f(x)的切线问题,先设出切点坐标,求导并求出切线方程,然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.2.(2022青海海东市第一中学模拟预测(理)已知函数,若有且仅有两个正整数,使得成立,则实数a的取值范围是()ABCD【答案】C【解析】【分析】将转化为,再分别求导分析和的图象,再分别求得,到的斜率,分析临界情况即可【详解】由且,得,设,已知函数在(0,2)上单调递增,在上单调递减,函数的图象过点,结合图象,因为,所以故选:C3(2022全国模拟预测(理)已知关于x的不等式的解集中只有1个整数,则实数a的取值范围是()ABCD

3.根据原文内容,下列说法不正确的一项是(3分)A.古典诗词承载着前哲先贤的品格与修养,可以超越时空距离,直到今天仍然可以带给我们深刻的人生启示。B.中华民族有许多有理想、有品格的人,诗词可以唤起人们不死的“诗心”,古典诗词不会消亡,会代代相传。C.青少年品读古典诗词,可以内化为一种精神的力量,从而呼应古人,完成一种诗词上的传承和文化上的赓续。D.学习古典诗词,诵读或者背诵是不重要的,重要的是要让古诗词与自己的生命情感发生碰撞,引领自己当下的修为。

1、第9讲 利用导数解决整数解及方程根的个数问题 【典例例题】题型一:整数解问题之化为直线与曲线位置关系问题【例1】(2023全国高三专题练习)若关于x的不等式(其中),有且只有两个整数解,则实数a的取值范围是()ABCD【答案】D【解析】【分析】根据给定不等式,构造函数和,作出函数图象,结合图象分析求解作答.【详解】由不等式(),令,当时,当时,即函数在上单调递减,在上单调递增,且当时,恒有,函数,表示恒过定点,斜率为的直线,在同一坐标系内作出函数的图象和直线,如图,因不等式()有且只有两个整数解,观察图象知,-1和0是不等式解集中的两个整数,于是得,即,解得,所以实数a的取值范围是.故选:D【

2、点睛】关键点睛:涉及不等式整数解的个数问题,构造函数,分析函数的性质并画出图象,数形结合建立不等关系是解题的关键.【例2】(2023四川成都七中模拟预测(理)已知不等式恰有2个整数解,则a的取值范围为()ABCD【答案】C【解析】【分析】首先通过不等式分析,排除的可能性,对于,将不等式分离参数,得到,分析排除的情况,然后令,利用导数分析其单调性,结合函数的正负值和零点,极值点分析,得到函数的大致图象,然后观察图象分析,将问题要求等价转化为,进而求解.【详解】当时,即为,即,不成立;当时不等式等价于,由于,故不成立;当时,不等式等价于,若,则不等式对于任意的恒成立,满足不等式的整数有无穷多个,不

3、符合题意;当时,令,则,在上,单调递增,在上,单调递减,且在(上,在上,又在趋近于时,趋近于0,在上的图象如图所示:,当时,不等式等价于有两个整数解,这两个整数解必然是和0,充分必要条件是,即,,故选:C【点睛】分类讨论是解决这类问题的重要方法,利用导数研究单调性后要结合函数的零点和极值,极限值进行分析,然后利用数形结合思想找到题设要求的充分必要条件,是问题解决的关键步骤.【例3】(2022辽宁辽阳市第一高级中学高二期末)已知函数,若有且只有两个整数解,则k的取值范围是()ABCD【答案】C【解析】【分析】将问题化为有且只有两个整数解,利用导数研究的性质,并画出与的图象,判断它们交点横坐标的范

4、围,列不等式组求k的范围.【详解】由题设,定义域为,则可得,令,则,所以时,即递增,值域为;时,即递减,值域为;而恒过,函数图象如下:要使有且只有两个整数解,则与必有两个交点,若交点的横坐标为,则,所以,即.故选:C【点睛】关键点点睛:首先转化为有且只有两个整数解,导数研究函数性质,再应用数形结合法判断、交点横坐标范围,即可求参数范围.【题型专练】1.(2022福建莆田二中高二期中)设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是 ()ABCD【答案】D【解析】【分析】根据给定条件,构造函数,将问题转化为存在唯一的整数使得在直线下方,再借助导数探讨求解作答.【详解】令,显然直线恒过点,则“

5、存在唯一的整数,使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”,当时,当时,即在上递减,在上递增,则当时,当时,而,即当时,不存在整数使得点在直线下方,当时,过点作函数图象的切线,设切点为,则切线方程为:,而切线过点,即有,整理得:,而,解得,因,又存在唯一整数使得点在直线下方,则此整数必为2,即存在唯一整数2使得点在直线下方,因此有,解得,所以的取值范围是.故选:D【点睛】思路点睛:解决过某点的函数f(x)的切线问题,先设出切点坐标,求导并求出切线方程,然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.2.(2022青海海东市第一中学模拟预测(理)已知函数,若有且仅有两个正整数,使得成立,则实数a的取值范围是()ABCD【答案】C【解析】【分析】将转化为,再分别求导分析和的图象,再分别求得,到的斜率,分析临界情况即可【详解】由且,得,设,已知函数在(0,2)上单调递增,在上单调递减,函数的图象过点,结合图象,因为,所以故选:C3(2022全国模拟预测(理)已知关于x的不等式的解集中只有1个整数,则实数a的取值范围是()ABCD

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