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高考数学二轮复习培优专题第10讲恒成立能成立3种常见题型

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高考数学二轮复习培优专题第10讲恒成立能成立3种常见题型

1、第10讲 恒成立能成立3种常见题型【考点分析】考点一:恒成立问题若函数在区间D上存在最小值和最大值,则不等式在区间D上恒成立;不等式在区间D上恒成立;不等式在区间D上恒成立;不等式在区间D上恒成立;考点二:存在性问题若函数在区间上存在最小值和最大值,即,则对不等式有解问题有以下结论:不等式在区间D上有解;不等式在区间D上有解;不等式在区间D上有解;不等式在区间D上有解;考点三:双变量问题对于任意的,总存在,使得;对于任意的,总存在,使得;若存在,对于任意的,使得;若存在,对于任意的,使得;对于任意的,使得;对于任意的,使得;若存在,总存在,使得若存在,总存在,使得【题型目录】题型一:利用导数研

2、究恒成立问题题型二:利用导数研究存在性问题题型三:利用导数处理恒成立与有解问题【典型例题】题型一:利用导数研究恒成立问题【例1】(2022福建省福安市第一中学高二阶段练习)对任意正实数,不等式恒成立,则的取值范围是()ABCD【答案】B【详解】令,其中,则,当时,此时函数单调递减,当时,此时函数单调递增,所以,.故选:B.【例2】【2022年全国甲卷】已知函数(1)若,求a的取值范围;【答案】(1)【解析】(1)的定义域为, 令,得当单调递减,当单调递增,若,则,即,所以的取值范围为【例3】已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若对任意的,都有成立,求的取值范围【答案】(1)答案见解析;(2)

3、.【解析】【分析】(1)求,分别讨论不同范围下的正负,分别求单调性;(2)由(1)所求的单调性,结合,分别求出的范围再求并集即可.【详解】解:(1)由已知定义域为,当,即时,恒成立,则在上单调递增;当,即时,(舍)或,所以在上单调递减,在上单调递增.所以时,在上单调递增;时,在上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)可知,当时,在上单调递增,若对任意的恒成立,只需,而恒成立,所以成立;当时,若,即,则在上单调递增,又,所以成立;若,则在上单调递减,在上单调递增,又,所以,不满足对任意的恒成立.所以综上所述:.【例4】已知函数(是正常数).(1)当时,求的单调区间与极值;(2)若,求的取值范围;

4、【答案】(1)在上单调递增,在上单调递减,的极大值是,无极小值;(2).【解析】【分析】(1)求出函数的导函数,解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间;(2)依题意可得,设,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最大值,即可得解;【详解】解:(1)当时,定义域为,令,解得,令,解得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以的极大值是,无极小值.(2)因为,即恒成立,即.设,可得,当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,所以,即.【例5】已知函数(1)求的极值点;(2)若对任意恒成立,求的取值范围【答案】(1)是的极小值点,无极大值点;(2).【解析】【分析】(1)利用导数研究函数的

5、极值点.(2)由题设知:在上恒成立,构造并应用导数研究单调性求最小值,即可求的范围【详解】(1)由题设,时,单调递减;时,单调递增减;是的极小值点,无极大值点.(2)由题设,对恒成立,即在上恒成立,令,则,时,递减;时,递增;,故.【题型专练】1.(2022四川广安模拟预测(文)不等式恒成立,则实数k的取值范围是()ABCD【答案】D【解析】【分析】由题可得在区间上恒成立,然后求函数的最大值即得.【详解】由题可得在区间上恒成立,令,则,当时,当时,所以的单调增区间为,单调减区间为;所以, 所以.故选:D.2.(2022北京景山学校模拟预测)已知函数(1)当时,求的极值;(2)若对任意的,恒成立,求实数a的取值范围【答案】(1)极小值是,无极大值.(2)【解析】【分析】(1)由题设可得,根据的符号研究的单调性,进而确定极值.(2)对任意的恒成立,转化为:对任意的恒成立,令,通过求导求的单调性进而求得的最大值,即可求出实数a的取值范围.(1)当时,的定义域为,则.令,则,令,则,所以在上单调递减,在上单调递增.当时,取得极小值且为,无极大值.(2)对任意的恒成立,则对任意的恒成立

15.下列对这首诗的理和赏析,正确的一项是(3分)明时A.首联写诗人登高缆胜,点明时间、地点,展现海上西风、水天苍茫的壮阔景象CB.颔联以城外家捕鱼采樵自得其乐,山间小路松柏生香凸显海州人民生活的惬意。权所有出C.颈联以“鸿阵”写出天空的广阔,以“橹声忙”,写出健儿与风涛搏斗的惊险情状。D.诗人立足亭中,放眼海上,写景时远时近,忽上忽下,描绘了幽美景色和宏阔气象。

1、第10讲 恒成立能成立3种常见题型【考点分析】考点一:恒成立问题若函数在区间D上存在最小值和最大值,则不等式在区间D上恒成立;不等式在区间D上恒成立;不等式在区间D上恒成立;不等式在区间D上恒成立;考点二:存在性问题若函数在区间上存在最小值和最大值,即,则对不等式有解问题有以下结论:不等式在区间D上有解;不等式在区间D上有解;不等式在区间D上有解;不等式在区间D上有解;考点三:双变量问题对于任意的,总存在,使得;对于任意的,总存在,使得;若存在,对于任意的,使得;若存在,对于任意的,使得;对于任意的,使得;对于任意的,使得;若存在,总存在,使得若存在,总存在,使得【题型目录】题型一:利用导数研

2、究恒成立问题题型二:利用导数研究存在性问题题型三:利用导数处理恒成立与有解问题【典型例题】题型一:利用导数研究恒成立问题【例1】(2022福建省福安市第一中学高二阶段练习)对任意正实数,不等式恒成立,则的取值范围是()ABCD【答案】B【详解】令,其中,则,当时,此时函数单调递减,当时,此时函数单调递增,所以,.故选:B.【例2】【2022年全国甲卷】已知函数(1)若,求a的取值范围;【答案】(1)【解析】(1)的定义域为, 令,得当单调递减,当单调递增,若,则,即,所以的取值范围为【例3】已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若对任意的,都有成立,求的取值范围【答案】(1)答案见解析;(2)

3、.【解析】【分析】(1)求,分别讨论不同范围下的正负,分别求单调性;(2)由(1)所求的单调性,结合,分别求出的范围再求并集即可.【详解】解:(1)由已知定义域为,当,即时,恒成立,则在上单调递增;当,即时,(舍)或,所以在上单调递减,在上单调递增.所以时,在上单调递增;时,在上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)可知,当时,在上单调递增,若对任意的恒成立,只需,而恒成立,所以成立;当时,若,即,则在上单调递增,又,所以成立;若,则在上单调递减,在上单调递增,又,所以,不满足对任意的恒成立.所以综上所述:.【例4】已知函数(是正常数).(1)当时,求的单调区间与极值;(2)若,求的取值范围;

4、【答案】(1)在上单调递增,在上单调递减,的极大值是,无极小值;(2).【解析】【分析】(1)求出函数的导函数,解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间;(2)依题意可得,设,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最大值,即可得解;【详解】解:(1)当时,定义域为,令,解得,令,解得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以的极大值是,无极小值.(2)因为,即恒成立,即.设,可得,当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,所以,即.【例5】已知函数(1)求的极值点;(2)若对任意恒成立,求的取值范围【答案】(1)是的极小值点,无极大值点;(2).【解析】【分析】(1)利用导数研究函数的

5、极值点.(2)由题设知:在上恒成立,构造并应用导数研究单调性求最小值,即可求的范围【详解】(1)由题设,时,单调递减;时,单调递增减;是的极小值点,无极大值点.(2)由题设,对恒成立,即在上恒成立,令,则,时,递减;时,递增;,故.【题型专练】1.(2022四川广安模拟预测(文)不等式恒成立,则实数k的取值范围是()ABCD【答案】D【解析】【分析】由题可得在区间上恒成立,然后求函数的最大值即得.【详解】由题可得在区间上恒成立,令,则,当时,当时,所以的单调增区间为,单调减区间为;所以, 所以.故选:D.2.(2022北京景山学校模拟预测)已知函数(1)当时,求的极值;(2)若对任意的,恒成立,求实数a的取值范围【答案】(1)极小值是,无极大值.(2)【解析】【分析】(1)由题设可得,根据的符号研究的单调性,进而确定极值.(2)对任意的恒成立,转化为:对任意的恒成立,令,通过求导求的单调性进而求得的最大值,即可求出实数a的取值范围.(1)当时,的定义域为,则.令,则,令,则,所以在上单调递减,在上单调递增.当时,取得极小值且为,无极大值.(2)对任意的恒成立,则对任意的恒成立

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