高考数学二轮复习培优专题第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结

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1、第4讲 导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造比较大小此函数定义域为，求导，当时，故为增函数，当时，故为减函数，当时，取得极大值为，且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】（2022广东佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若，则的大小关系为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：，设，则时，故在上单调递减，则，即，所以故选：A.【例2】（2023全国高三专题练习）设，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出

2、时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小.【详解】设,则,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,故当时,函数取得最大值,因为,当时,函数单调递减,可得,即.故选:C【例3】（2022吉林高二期末）下列命题为真命题的个数是（）；A1B2C3D4【答案】B【解析】【分析】本题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对四组数字进行适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小【详解】解：构造函数，则，当时，时，所以函数在上递增，在上递减，所以当时取得最大值，由可得，故正确；，由，可得，故错误；，因为函数在上递减，所以，故正确；因为，所以，即，即，则，即，故

3、错误，综上所述，有2个正确.故选：B【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题【例4】（2021陕西汉中高二期末（理）已知a，b，c均为区间内的实数，且，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】构造函数，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令，则，当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减，因为，所以，因为a，b，c均为区间内的实数，且，所以，所以，故选：B.【例5】（2022江西高三阶段练习

4、（理）设，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据a、b、c算式特征构建函数，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系.【详解】令，则，因此在上单调递减，又因为，因为，所以故选：B【题型专练】1.（2022四川省资阳中学高二期末（理）若，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断、，即可得解；【详解】解：令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以又所以，即.故选：A2.（2022浙江台州高二期末）设，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】由题设，构造并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小

5、.【详解】由题设，令且，可得，所以有，则上递增；有，则上递减；又，故.故选：B3.（2022四川广安模拟预测（理）在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（）A0个B1个C2个D3个【答案】C【解析】【分析】根据题目特点，构造函数，则可根据函数的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数，则，令解得，令解得，故在区间上单调递增，在区间单调递减，所以，（1），即，即，则正确；（2），即，即，则错误；（3），即，所以，则正确故选：C.4.（2022四川资阳高二期末（文）若，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】设函数，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设，则，当时，递增，当时，递减，当时，函数取得最小值，

6.研究表明从植物中提取的生物碱NB和黄酮CH有一定的降血糖作用,为了探究它们的降血糖效果,某研究小组利用小鼠进行了相关实验,结果如表所示(表中NB和CH均用生理盐水配制,各组小鼠均饲喂等量的淀粉):据表分析,下列有关叙述正确的是A.每组设置10只小鼠遵循的是实验设计的对照原则B.30分钟时生理盐水组小鼠血糖水平较高,与淀粉在细胞内转化为葡萄糖有关C.NB和CH在降血糖方面表现为协同作用,作用时间越长二者降血糖效果越好D.NB和CF可能通过促进葡萄糖进入组织细胞来发挥降血糖作用

1、第4讲 导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造比较大小此函数定义域为，求导，当时，故为增函数，当时，故为减函数，当时，取得极大值为，且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】（2022广东佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若，则的大小关系为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：，设，则时，故在上单调递减，则，即，所以故选：A.【例2】（2023全国高三专题练习）设，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出

2、时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小.【详解】设,则,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,故当时,函数取得最大值,因为,当时,函数单调递减,可得,即.故选:C【例3】（2022吉林高二期末）下列命题为真命题的个数是（）；A1B2C3D4【答案】B【解析】【分析】本题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对四组数字进行适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小【详解】解：构造函数，则，当时，时，所以函数在上递增，在上递减，所以当时取得最大值，由可得，故正确；，由，可得，故错误；，因为函数在上递减，所以，故正确；因为，所以，即，即，则，即，故

3、错误，综上所述，有2个正确.故选：B【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题【例4】（2021陕西汉中高二期末（理）已知a，b，c均为区间内的实数，且，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】构造函数，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令，则，当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减，因为，所以，因为a，b，c均为区间内的实数，且，所以，所以，故选：B.【例5】（2022江西高三阶段练习

4、（理）设，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据a、b、c算式特征构建函数，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系.【详解】令，则，因此在上单调递减，又因为，因为，所以故选：B【题型专练】1.（2022四川省资阳中学高二期末（理）若，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断、，即可得解；【详解】解：令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以又所以，即.故选：A2.（2022浙江台州高二期末）设，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】由题设，构造并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小

5、.【详解】由题设，令且，可得，所以有，则上递增；有，则上递减；又，故.故选：B3.（2022四川广安模拟预测（理）在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（）A0个B1个C2个D3个【答案】C【解析】【分析】根据题目特点，构造函数，则可根据函数的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数，则，令解得，令解得，故在区间上单调递增，在区间单调递减，所以，（1），即，即，则正确；（2），即，即，则错误；（3），即，所以，则正确故选：C.4.（2022四川资阳高二期末（文）若，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】设函数，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设，则，当时，递增，当时，递减，当时，函数取得最小值，