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高考数学二轮复习培优专题第8讲抽象函数7种导函数构造

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高考数学二轮复习培优专题第8讲抽象函数7种导函数构造

1、第8讲 抽象函数7种导函数构造【题型目录】题型一:具体函数抽象化解不等式题型二:构造幂函数型解不等式题型三:构造指数函数型解不等式题型四:构造对数函数型解不等式题型五:构造三角函数型解不等式题型六:构造型函数解不等式题型七:复杂型:二次构造【典例例题】题型一:具体函数抽象化解不等式【例1】(2022广东南海中学高二阶段练习)已知,若成立,则实数的取值范围是()ABCD【答案】B【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数为偶函数,利用导数知函数在区间上为增函数,由偶函数的性质将不等式变形为,利用单调性得出,从而可解出实数的取值范围.【详解】解:函数的定义域为,关于原点对称,函数为偶函数,当时,则函数

2、在上为增函数,由得,由偶函数的性质得,由于函数在上为增函数,则,即,整理得,解得,因此,实数的取值范围是.故选:B.【题型专练】1(2022贵州遵义高二期末(理)已知函数,设,则a,b,c的大小为()ABCD【答案】A【解析】【分析】利用函数解析式求导数,判断导数大于零恒成立,故确定函数单调性,比较自变量大小确定函数值a,b,c的大小即可.【详解】解:因为,则,所以又时,所以恒成立所以在上单调递增;又,所以,则.故选:A.2(2022上海复旦附中高二期末)设,若,则x的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】奇偶性定义判断奇偶性,利用导数研究的单调性,再应用奇偶、单调性求x的范围.【详解】由且,

3、易知:为奇函数,所以,又,故在上递增,所以,可得.故答案为:题型二:构造幂函数型解不等式【例1】(2022黑龙江哈师大附中高二期末)已知定义在(0,+)上的函数满足,其中是函数的导函数,若,则实数m的取值范围为()A(0,2022)B(2022,+)C(2023,+)D(2022,2023)【答案】D【解析】【分析】构造函数,使得,然后根据函数的单调性解不等式即可.【详解】由题设,所以在上单调递减,又,即,又函数的定义域为,所以,综上可得:.故选:D.【例2】(2022四川雅安高二期末(理)设奇函数的导函数是,且,当时,则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】设,利用导数求得在为单调递减函数

4、,进而得到函数为奇函数,且在为单调递减函数,结合函数的单调性,即可求解.【详解】设,可得,因为当时,可得,所以在为单调递减函数,又因为函数为奇函数,且,可得,则满足,所以函数也为奇函数,所以在为单调递减函数,且,当时,由,即,即,可得;当时,由,即,即,可得;所以不等式的解集为.故答案为:.【例3】(2022河南信阳高二期中(理)已知定义域为的函数满足(为函数的导函数),则不等式的解集为()ABCD【答案】A【解析】【分析】构造函数,由题意可知在上单调递增,再对分情况讨论,利用函数的单调性即可求出不等式的解集.【详解】由,(1)当时,可得,即,即,构造函数,所以函数单调递增,则,此时,即满足;

5、(2)当时,可得,由函数递增,则,此时或,即满足;(3)当时,即满足.综上,.故选:A.【例4】已知定义在上的奇函数,其导函数为,当时,恒有则不等式的解集为()ABC或D或【答案】D【解析】先通过得到原函数为增函数且为偶函数,再利用到轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数,则由题可知,所以在时为增函数;由为奇函数,为奇函数,所以为偶函数;又,即即又为开口向上的偶函数所以,解得或故选:D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数,偶函数解不等式等知识点,属于较难题目.【例5】函数是定义在区间上的可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为ABCD【答案】D【解析】设函数,根据导数的运算和题设条件,求得函数在上为增函数,把不等式转化为,即,利用单调性,即可求解.【详解】由题意,设函数,则,因为是定义在区间上的可导函数,且满足,所以,所以函数在上为增函数,又由,即,即,所以,解得,即不等式的解集为.故选:D.【点睛】本题主要

2.在匈牙利布达佩斯进行的2022年国际泳联世界锦标赛上,21岁的王宗源以领先第二名60多分的巨大优势成功卫冕男子1米板项目的冠军。如图所示,是王宗源起跳前的情景,下列说法正确的是A.王宗源起跳以后至落水前重心相对于身体的位置不变B.王宗源受到的支持力是由于跳板发生形变而产生的C.王宗源对跳板的压力是由于跳板发生形变而产生的D.王宗源对跳板的作用力小于跳板对王宗源的作用力

1、第8讲 抽象函数7种导函数构造【题型目录】题型一:具体函数抽象化解不等式题型二:构造幂函数型解不等式题型三:构造指数函数型解不等式题型四:构造对数函数型解不等式题型五:构造三角函数型解不等式题型六:构造型函数解不等式题型七:复杂型:二次构造【典例例题】题型一:具体函数抽象化解不等式【例1】(2022广东南海中学高二阶段练习)已知,若成立,则实数的取值范围是()ABCD【答案】B【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数为偶函数,利用导数知函数在区间上为增函数,由偶函数的性质将不等式变形为,利用单调性得出,从而可解出实数的取值范围.【详解】解:函数的定义域为,关于原点对称,函数为偶函数,当时,则函数

2、在上为增函数,由得,由偶函数的性质得,由于函数在上为增函数,则,即,整理得,解得,因此,实数的取值范围是.故选:B.【题型专练】1(2022贵州遵义高二期末(理)已知函数,设,则a,b,c的大小为()ABCD【答案】A【解析】【分析】利用函数解析式求导数,判断导数大于零恒成立,故确定函数单调性,比较自变量大小确定函数值a,b,c的大小即可.【详解】解:因为,则,所以又时,所以恒成立所以在上单调递增;又,所以,则.故选:A.2(2022上海复旦附中高二期末)设,若,则x的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】奇偶性定义判断奇偶性,利用导数研究的单调性,再应用奇偶、单调性求x的范围.【详解】由且,

3、易知:为奇函数,所以,又,故在上递增,所以,可得.故答案为:题型二:构造幂函数型解不等式【例1】(2022黑龙江哈师大附中高二期末)已知定义在(0,+)上的函数满足,其中是函数的导函数,若,则实数m的取值范围为()A(0,2022)B(2022,+)C(2023,+)D(2022,2023)【答案】D【解析】【分析】构造函数,使得,然后根据函数的单调性解不等式即可.【详解】由题设,所以在上单调递减,又,即,又函数的定义域为,所以,综上可得:.故选:D.【例2】(2022四川雅安高二期末(理)设奇函数的导函数是,且,当时,则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】设,利用导数求得在为单调递减函数

4、,进而得到函数为奇函数,且在为单调递减函数,结合函数的单调性,即可求解.【详解】设,可得,因为当时,可得,所以在为单调递减函数,又因为函数为奇函数,且,可得,则满足,所以函数也为奇函数,所以在为单调递减函数,且,当时,由,即,即,可得;当时,由,即,即,可得;所以不等式的解集为.故答案为:.【例3】(2022河南信阳高二期中(理)已知定义域为的函数满足(为函数的导函数),则不等式的解集为()ABCD【答案】A【解析】【分析】构造函数,由题意可知在上单调递增,再对分情况讨论,利用函数的单调性即可求出不等式的解集.【详解】由,(1)当时,可得,即,即,构造函数,所以函数单调递增,则,此时,即满足;

5、(2)当时,可得,由函数递增,则,此时或,即满足;(3)当时,即满足.综上,.故选:A.【例4】已知定义在上的奇函数,其导函数为,当时,恒有则不等式的解集为()ABC或D或【答案】D【解析】先通过得到原函数为增函数且为偶函数,再利用到轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数,则由题可知,所以在时为增函数;由为奇函数,为奇函数,所以为偶函数;又,即即又为开口向上的偶函数所以,解得或故选:D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数,偶函数解不等式等知识点,属于较难题目.【例5】函数是定义在区间上的可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为ABCD【答案】D【解析】设函数,根据导数的运算和题设条件,求得函数在上为增函数,把不等式转化为,即,利用单调性,即可求解.【详解】由题意,设函数,则,因为是定义在区间上的可导函数,且满足,所以,所以函数在上为增函数,又由,即,即,所以,解得,即不等式的解集为.故选:D.【点睛】本题主要

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