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高考数学二轮复习培优专题第17讲数列求和5种常考题型总结()

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1、第17讲 数列求和5种常考题型总结 【题型目录】题型一:分组求和法题型二:裂项相消法求和题型三:错位相减法求和题型四:先求和,再证不等式题型五:先放缩,再求和【典型例题】【例1】已知数列的前n项和.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用 ,即可得的通项公式;(2)由题可知,利用分组求和法即得.(1)因为,当时,当时,因为也满足,综上,;(2)由题可知,所以.以【例2】已知各项均为正数的数列中,且满足,数列的前n项和为,满足.(1)求数列,的通项公式;(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列,求数列中前40项的和.【答案】(1),;(

2、2).【分析】(1)利用平方差公式将变形,得出数列是等差,可求出数列的通项;利用消去得到与的递推关系,得出数列是等比数列,可求出通项;(2)分析中前40项中与各有多少项,分别求和即可【详解】(1)由题设得:,则,故是首项,公差为2的等差数列,当时,得:,当,由,由整理得:,故,数列是首项为1,公比为3的等比数列,故.(2)依题意知:新数列中,(含)前面共有:项由,()得:,新数列中含有数列的前8项:,含有数列的前32项:,;【例3】设是各项为正的等比数列的前n项的和,且(1)求数列的通项公式;(2)在数列的任意与项之间,都插入个相同的数,组成数列,记数列的前n项的和为,求的值【答案】(1);(

3、2)【分析】(1)设等比数列的公比为,由已知建立方程组求解可得数列的通项公式;(2)数列中在之前共有项,再分组,分别利用等差,等比求和公式可求得答案【详解】(1)设等比数列的公比为,则,解得,则等比数列an的通项公式为;(2)数列中在之前共有项,当时,;当时,则,则所求的数列的前100项和为【题型专练】1.已知数列是等差数列,数列是等比数列,若,(1)求数列与数列的通项公式;(2)求数列的前n项和【答案】(1),.(2)【分析】(1)直接根据等差数列等比数列通项公式计算得到答案.(2),利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算得到答案.【详解】(1),解得,(舍去).故,.(2),故.2.已

4、知数列的前项和为,且,请在;成等比数列;,这三个条件中任选一个补充在上面题干中,并解答下面问题.(1)求数列的通项公式;(2)若数列是公比为2的等比数列,求数列的前项和.【答案】(1)任选,都有;(2)任选,【分析】(1)由已知得出数列是等差数列,选,利用等差数列的基本量法求得后可得通项公式;选,由等比数列性质得,再利用等差数列的基本量法求得后可得通项公式;选,由等差数列的前项和公式求得后得通项公式;(2)求出,用分组求和法求和(1)由得,即,所以是等差数列,公差为1,选,则,所以;选,成等比数列,则,所以,解得,所以;选,所以;(2)任选都有:由题意,所以,3(2022广东广州一模)已知公差

5、不为0的等差数列中,是和的等比中项.(1)求数列的通项公式:(2)保持数列中各项先后顺序不变,在与之间插入,使它们和原数列的项构成一个新的数列,记的前n项和为,求的值.【答案】(1),(2)【分析】(1)设数列的公差为,根据等比中项列出方程求得即可得到通项公式.(2)由题意计算出在中对应的项数,然后利用分组求和即可.(1)设数列的公差为,因为是和的等比中项,则且则或(舍)则,即通项公式(2)因为与(,2,)之间插入,所以在数列中有10项来自,10项来自,所以4.已知等差数列满足,设.(1)求的通项公式,并证明数列为等比数列;(2)将插入中,插入中,插入中,依此规律得到新数列,求该数列前20项的和.【答案】(1),证明见解析,(2)【分析】(1)先由递推公式求出通项公式,即可得的通项公式,由即可证明为等比数列;(2)先确定数列前20项的和包含的前5项,的前15项,分组求和即可.(1)设等差数列的公差为,因为,所以,故,所以.因为,所以数列是公比为4的等比数列.(2)由题意,该数列前20项的和包含的前5项,的前15项,设该数列前项和为的前项和为的前项和为,所以.题型

16、3D打印在工业设计等领域被用干模型制造,如图甲所示是用于3D打印ABS塑料,图乙是利用该材料打印出来的3D作品.已知体积为10cm^2的ABS塑料的质量为10.5g(1)这种材料的密度;(2)若用该材料打印出来的作品的质量是210g,求消耗该材料的体积。(1)p=1&6=105&100=1.05(2)V=11&3=2100&105×.80.02200

1、第17讲 数列求和5种常考题型总结 【题型目录】题型一:分组求和法题型二:裂项相消法求和题型三:错位相减法求和题型四:先求和,再证不等式题型五:先放缩,再求和【典型例题】【例1】已知数列的前n项和.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用 ,即可得的通项公式;(2)由题可知,利用分组求和法即得.(1)因为,当时,当时,因为也满足,综上,;(2)由题可知,所以.以【例2】已知各项均为正数的数列中,且满足,数列的前n项和为,满足.(1)求数列,的通项公式;(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列,求数列中前40项的和.【答案】(1),;(

2、2).【分析】(1)利用平方差公式将变形,得出数列是等差,可求出数列的通项;利用消去得到与的递推关系,得出数列是等比数列,可求出通项;(2)分析中前40项中与各有多少项,分别求和即可【详解】(1)由题设得:,则,故是首项,公差为2的等差数列,当时,得:,当,由,由整理得:,故,数列是首项为1,公比为3的等比数列,故.(2)依题意知:新数列中,(含)前面共有:项由,()得:,新数列中含有数列的前8项:,含有数列的前32项:,;【例3】设是各项为正的等比数列的前n项的和,且(1)求数列的通项公式;(2)在数列的任意与项之间,都插入个相同的数,组成数列,记数列的前n项的和为,求的值【答案】(1);(

3、2)【分析】(1)设等比数列的公比为,由已知建立方程组求解可得数列的通项公式;(2)数列中在之前共有项,再分组,分别利用等差,等比求和公式可求得答案【详解】(1)设等比数列的公比为,则,解得,则等比数列an的通项公式为;(2)数列中在之前共有项,当时,;当时,则,则所求的数列的前100项和为【题型专练】1.已知数列是等差数列,数列是等比数列,若,(1)求数列与数列的通项公式;(2)求数列的前n项和【答案】(1),.(2)【分析】(1)直接根据等差数列等比数列通项公式计算得到答案.(2),利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算得到答案.【详解】(1),解得,(舍去).故,.(2),故.2.已

4、知数列的前项和为,且,请在;成等比数列;,这三个条件中任选一个补充在上面题干中,并解答下面问题.(1)求数列的通项公式;(2)若数列是公比为2的等比数列,求数列的前项和.【答案】(1)任选,都有;(2)任选,【分析】(1)由已知得出数列是等差数列,选,利用等差数列的基本量法求得后可得通项公式;选,由等比数列性质得,再利用等差数列的基本量法求得后可得通项公式;选,由等差数列的前项和公式求得后得通项公式;(2)求出,用分组求和法求和(1)由得,即,所以是等差数列,公差为1,选,则,所以;选,成等比数列,则,所以,解得,所以;选,所以;(2)任选都有:由题意,所以,3(2022广东广州一模)已知公差

5、不为0的等差数列中,是和的等比中项.(1)求数列的通项公式:(2)保持数列中各项先后顺序不变,在与之间插入,使它们和原数列的项构成一个新的数列,记的前n项和为,求的值.【答案】(1),(2)【分析】(1)设数列的公差为,根据等比中项列出方程求得即可得到通项公式.(2)由题意计算出在中对应的项数,然后利用分组求和即可.(1)设数列的公差为,因为是和的等比中项,则且则或(舍)则,即通项公式(2)因为与(,2,)之间插入,所以在数列中有10项来自,10项来自,所以4.已知等差数列满足,设.(1)求的通项公式,并证明数列为等比数列;(2)将插入中,插入中,插入中,依此规律得到新数列,求该数列前20项的和.【答案】(1),证明见解析,(2)【分析】(1)先由递推公式求出通项公式,即可得的通项公式,由即可证明为等比数列;(2)先确定数列前20项的和包含的前5项,的前15项,分组求和即可.(1)设等差数列的公差为,因为,所以,故,所以.因为,所以数列是公比为4的等比数列.(2)由题意,该数列前20项的和包含的前5项,的前15项,设该数列前项和为的前项和为的前项和为,所以.题型

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