2023高考数学真题分类汇编：第05章平面向量()

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1、第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算1.（2023新高考II卷13）已知向量满足，则_【解析】解法一（向量运算）:因为，所以因为，所以，化简得，代入得，.解法二（向量运算加减几何意义）：如图所示，所以，所以四边形为等腰梯形，则.即.第二节 平面向量基本定理及坐标表示1.（2023新高考I卷3）已知向量，.若，则（ ）A.B.C.D.【解析】，所以.故选D.第三节 平面向量的数量积及应用1.（2023北京卷3）已知向量满足，则（ ）A. B. C. D.【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【解析】向量满足，所以.故选B.2.（2023全国甲卷理科4）向量，且

2、，则（ ）A. B. C. D.【分析】作出图形， 根据几何意义求解.【解析】因为， 所以，即， 即， 所以.如图所示， 设， 由题知，是等腰直角三角形，边上的高，所以，.故选D. 3.（2023全国甲卷文科3）已知向量，则（ ）A. B. C. D.【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【解析】因为，所以，则，所以.故选B.4.（2023全国乙卷理科12）已知圆的半径为 1，直线与圆相切于点，直线与圆交于两点，为的中点，若，则的最大值为 （ ）A. B. C. D.【解析】依题意为等腰直角三角形，. 因为要求的最大值，所以一定在同侧，如图所

3、示，设，则，.所以=当时等号成立，所以的最大值为.故选A.5.（2023全国乙卷文科6）正方形的边长是2,是的中点，则（ ）A. B. C. D.【分析】解法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；解法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；解法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【解析】解法一（基底法）：以为基底向量，可知，则，所以.解法二（建系法）：如图所示，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以.解法三（定义法）：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选B.6.（2023天津卷14）在中，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_；若，则的最大值为_【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【解析】空1：因为为的中点，所以，即，则；空2：因为，则，由题意可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故答案为：；.

14.(12分)两同学用安装有蓝牙设备的玩具小车A、B进行实验:A、B两车开始时处于同一平直路段上相距d=4m的两点O1、O2,A车从O1点由静止开始以加速度,a1=3m/s^2向右做匀加速运动,B车从O2点以初速度v0=4m/s、加速度a2=1m/s^2向右做匀加速运动,两车同时开始运动.已知当两车间距超过s0=8m时,两车无法实现通信,忽略信号传递的时间.已知两小车可视为质点,相遇时擦肩而过,不会相撞.求:(1)A、B两车在相遇前的最大距离;(2)经过多长时间两车相遇;(3)A、B两车能保持通信的时间.

1、第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算1.（2023新高考II卷13）已知向量满足，则_【解析】解法一（向量运算）:因为，所以因为，所以，化简得，代入得，.解法二（向量运算加减几何意义）：如图所示，所以，所以四边形为等腰梯形，则.即.第二节 平面向量基本定理及坐标表示1.（2023新高考I卷3）已知向量，.若，则（ ）A.B.C.D.【解析】，所以.故选D.第三节 平面向量的数量积及应用1.（2023北京卷3）已知向量满足，则（ ）A. B. C. D.【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【解析】向量满足，所以.故选B.2.（2023全国甲卷理科4）向量，且

2、，则（ ）A. B. C. D.【分析】作出图形， 根据几何意义求解.【解析】因为， 所以，即， 即， 所以.如图所示， 设， 由题知，是等腰直角三角形，边上的高，所以，.故选D. 3.（2023全国甲卷文科3）已知向量，则（ ）A. B. C. D.【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【解析】因为，所以，则，所以.故选B.4.（2023全国乙卷理科12）已知圆的半径为 1，直线与圆相切于点，直线与圆交于两点，为的中点，若，则的最大值为 （ ）A. B. C. D.【解析】依题意为等腰直角三角形，. 因为要求的最大值，所以一定在同侧，如图所

3、示，设，则，.所以=当时等号成立，所以的最大值为.故选A.5.（2023全国乙卷文科6）正方形的边长是2,是的中点，则（ ）A. B. C. D.【分析】解法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；解法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；解法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【解析】解法一（基底法）：以为基底向量，可知，则，所以.解法二（建系法）：如图所示，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以.解法三（定义法）：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选B.6.（2023天津卷14）在中，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_；若，则的最大值为_【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【解析】空1：因为为的中点，所以，即，则；空2：因为，则，由题意可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故答案为：；.