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2023高考数学真题分类汇编:第05章平面向量()

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2023高考数学真题分类汇编:第05章平面向量()

1、第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算1.(2023新高考II卷13)已知向量满足,则_【解析】解法一(向量运算):因为,所以因为,所以,化简得,代入得,.解法二(向量运算加减几何意义):如图所示,所以,所以四边形为等腰梯形,则.即.第二节 平面向量基本定理及坐标表示1.(2023新高考I卷3)已知向量,.若,则( )A.B.C.D.【解析】,所以.故选D.第三节 平面向量的数量积及应用1.(2023北京卷3)已知向量满足,则( )A. B. C. D.【分析】利用平面向量数量积的运算律,数量积的坐标表示求解作答.【解析】向量满足,所以.故选B.2.(2023全国甲卷理科4)向量,且

2、,则( )A. B. C. D.【分析】作出图形, 根据几何意义求解.【解析】因为, 所以,即, 即, 所以.如图所示, 设, 由题知,是等腰直角三角形,边上的高,所以,.故选D. 3.(2023全国甲卷文科3)已知向量,则( )A. B. C. D.【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得,从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【解析】因为,所以,则,所以.故选B.4.(2023全国乙卷理科12)已知圆的半径为 1,直线与圆相切于点,直线与圆交于两点,为的中点,若,则的最大值为 ( )A. B. C. D.【解析】依题意为等腰直角三角形,. 因为要求的最大值,所以一定在同侧,如图所

3、示,设,则,.所以=当时等号成立,所以的最大值为.故选A.5.(2023全国乙卷文科6)正方形的边长是2,是的中点,则( )A. B. C. D.【分析】解法一:以为基底向量表示,再结合数量积的运算律运算求解;解法二:建系,利用平面向量的坐标运算求解;解法三:利用余弦定理求,进而根据数量积的定义运算求解.【解析】解法一(基底法):以为基底向量,可知,则,所以.解法二(建系法):如图所示,以为坐标原点建立平面直角坐标系,则,可得,所以.解法三(定义法):由题意可得:,在中,由余弦定理可得,所以.故选B.6.(2023天津卷14)在中,点为的中点,点为的中点,若设,则可用表示为_;若,则的最大值为_【分析】空1:根据向量的线性运算,结合为的中点进行求解;空2:用表示出,结合上一空答案,于是可由表示,然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【解析】空1:因为为的中点,所以,即,则;空2:因为,则,由题意可得,得到,即,即.于是.记,则,在中,根据余弦定理:,于是,由和基本不等式,故,当且仅当取得等号,则时,有最大值.故答案为:;.

14.(12分)两同学用安装有蓝牙设备的玩具小车A、B进行实验:A、B两车开始时处于同一平直路段上相距d=4m的两点O1、O2,A车从O1点由静止开始以加速度,a1=3m/s^2向右做匀加速运动,B车从O2点以初速度v0=4m/s、加速度a2=1m/s^2向右做匀加速运动,两车同时开始运动.已知当两车间距超过s0=8m时,两车无法实现通信,忽略信号传递的时间.已知两小车可视为质点,相遇时擦肩而过,不会相撞.求:(1)A、B两车在相遇前的最大距离;(2)经过多长时间两车相遇;(3)A、B两车能保持通信的时间.

1、第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算1.(2023新高考II卷13)已知向量满足,则_【解析】解法一(向量运算):因为,所以因为,所以,化简得,代入得,.解法二(向量运算加减几何意义):如图所示,所以,所以四边形为等腰梯形,则.即.第二节 平面向量基本定理及坐标表示1.(2023新高考I卷3)已知向量,.若,则( )A.B.C.D.【解析】,所以.故选D.第三节 平面向量的数量积及应用1.(2023北京卷3)已知向量满足,则( )A. B. C. D.【分析】利用平面向量数量积的运算律,数量积的坐标表示求解作答.【解析】向量满足,所以.故选B.2.(2023全国甲卷理科4)向量,且

2、,则( )A. B. C. D.【分析】作出图形, 根据几何意义求解.【解析】因为, 所以,即, 即, 所以.如图所示, 设, 由题知,是等腰直角三角形,边上的高,所以,.故选D. 3.(2023全国甲卷文科3)已知向量,则( )A. B. C. D.【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得,从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【解析】因为,所以,则,所以.故选B.4.(2023全国乙卷理科12)已知圆的半径为 1,直线与圆相切于点,直线与圆交于两点,为的中点,若,则的最大值为 ( )A. B. C. D.【解析】依题意为等腰直角三角形,. 因为要求的最大值,所以一定在同侧,如图所

3、示,设,则,.所以=当时等号成立,所以的最大值为.故选A.5.(2023全国乙卷文科6)正方形的边长是2,是的中点,则( )A. B. C. D.【分析】解法一:以为基底向量表示,再结合数量积的运算律运算求解;解法二:建系,利用平面向量的坐标运算求解;解法三:利用余弦定理求,进而根据数量积的定义运算求解.【解析】解法一(基底法):以为基底向量,可知,则,所以.解法二(建系法):如图所示,以为坐标原点建立平面直角坐标系,则,可得,所以.解法三(定义法):由题意可得:,在中,由余弦定理可得,所以.故选B.6.(2023天津卷14)在中,点为的中点,点为的中点,若设,则可用表示为_;若,则的最大值为_【分析】空1:根据向量的线性运算,结合为的中点进行求解;空2:用表示出,结合上一空答案,于是可由表示,然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【解析】空1:因为为的中点,所以,即,则;空2:因为,则,由题意可得,得到,即,即.于是.记,则,在中,根据余弦定理:,于是,由和基本不等式,故,当且仅当取得等号,则时,有最大值.故答案为:;.

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