第二章 第2讲　函数的单调性与最大值-2020高考理科数学【步步高】大一轮考点专项练

第2讲　函数的单调性与最大（小）值 一、选择题 1.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为(　　) A.－2 B.2 C.－6 D.6 汇总　由图像易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，∴a＝－6. 答案　C 2.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是(　　) A.y＝ B.y＝cos x C.y＝ln(x＋1) D.y＝2－x 汇总　∵y＝与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x在(－1，1)上不具备单调性.∴A，B，C不满足题意.只有y＝2－x＝在(－1，1)上是减函数. 答案　D[来源:ZXXK] 3.定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a2；当a 函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g(x)的减区间是[0，1).
答案　[0，1)
7.(2017·南昌调研)函数f(x)＝\a\vs4\al\co1(\f(13))x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.
汇总　由于y＝\a\vs4\al\co1(\f(13))x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在
[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案　3
8.(2017·潍坊模拟)设函数f(x)＝－x2＋4x，x≤4，log2x，x>4.)若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
汇总　作出函数f(x)的图像如图所示，由图像可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
答案　(－∞，1]∪[4，＋∞)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝1a－1x(a>0，x>0).
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在\f(12)，2)上的值域是\f(12)，2)，求a的值.
(1)证明　设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，
∵f(x2)－f(x1)＝\a\vs4\al\co1(\f(11x2)－\a\vs4\al\co1(\f(11x1)＝1x1－1x2＝x2－x1x1x2>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
(2)解　∵f(x)在\f(12)，2)上的值域是\f(12)，2)，又由(1)得f(x)在\f(12)，2)上是单调增函数，
∴佟铁鑫猛点头铜铁锌锰碘f\a\vs4\al\co1(\f(12))＝12，f(2)＝2，易知a＝25.
10.已知函数f(x)＝2x－ax的定义域为(0，1](a为实数).
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值.
解　(1)当a＝1时，f(x)＝2x－1x，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－\a\vs4\al\co1(\f(11x2)＝(x1－x2)\a\vs4\al\co1(2＋\f(1x1x2)).
∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1].
(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；
当a＜0时，f(x)＝2x＋－ax，
当a2)≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；
当a2)＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在\a\vs4\al\co1(0，\r(－\f(a2)))上单调递减，在\r(－\f(a2))，1)上单调递增，无最大值，当x＝a2)时取得最小值2－2a.
11.(2017·郑州质检)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝(　　)
A.4 B.2 C.12 D.14
汇总　当a>1，则y＝ax为增函数，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝12，
此时g(x)＝－x在[0，＋∞)上为减函数，不合题意.
当0有a－1＝4，a2＝m，此时a＝14，m＝116.
此时g(x)＝34x在[0，＋∞)上是增函数.故a＝14.
答案　D
12.(2017·枣阳第一中学模拟)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为(　　)
A.[0，3] B.(1，3)
C.[2－2，2＋2] D.(2－2，2＋2)
汇总　由题可知f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，
若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1，1]，
所以－b2＋4b－3>－1，即b2－4b＋2<0，
解得2－2所以实数b的取值范围为(2－2，2＋2).
答案　D
13.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a>b.)设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.
汇总　依题意，h(x)＝log2x，02.)
当0当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，
∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
答案　1
14.已知函数f(x)＝lg(x＋ax－2)，其中a是大于0的常数.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.
解　(1)由x＋ax－2＞0，得x2－2x＋ax＞0，
当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－1－a或x＞1＋1－a}.
(2)设g(x)＝x＋ax－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，
∴g′(x)＝1－ax2＝x2－ax2>0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数.
则f(x)min＝f(2)＝lna2.
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋ax－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.∴6.蒸馏a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).
由于h(x)＝－\a\vs4\al\co1(x－\f(32))2＋94在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故a>2时，恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞).