第三章 第2讲 第1课时 利用导数研究函数的单调性-2020高考理科数学【步步高】大一轮考点专项练
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2.下面为函数y＝xsin x＋cos x的递增区间的是( )
A.\a\vs4\al\co1(\f(π3π2) B.(π，2π)
C.\a\vs4\al\co1(\f(3π5π2) D.(2π，3π)
汇总 y′＝(xsin x＋cos x)′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，当x∈\a\vs4\al\co1(\f(3π5π2)时，恒有xcos x>0.
答案 C
3.已知函数f(x)＝12x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
汇总 f′(x)＝32x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
答案 A
4.已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )
汇总 由y＝f′(x)的图像知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢.
答案 B
5.设函数f(x)＝12x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A.(1，2] B.(4，＋∞]
C.[－∞，2) D.(0，3]
汇总 ∵f(x)＝12x2－9ln x，∴f′(x)＝x－9x(x>0)，
当x－9x≤0时，有0即在(0，3]上原函数是减函数，则[a－1，a＋1]?(0，3]，
∴a－1>0且a＋1≤3，解得1答案 A
二、填空题
6.函数f(x)＝exx的单调递增区间为________.
汇总 函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝ex（x－1）x2，令f′(x)>0得x>1.
答案 (1，＋∞)
7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________.
汇总 f′(x)＝(2x3.裨－2a)ex＋(x2－2ax)ex
＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，
由题意当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立，
即x2＋(2－2a)x－2a≤0在x∈[－1，1]时恒成立.
令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，
则有g（－1）≤0，g（1）≤0，)
即（－1）2＋（2－2a）·（－1）－2a≤0，12＋2－2a－2a≤0，)解得a≥34.
答案 \f(34)，＋∞)
8.(2017·合肥模拟)若函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax在\f(23)，＋∞)上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________.
汇总 对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－\a\vs4\al\co1(x－\f(12))2＋14＋2a.
当x∈\f(23)，＋∞)时，
f′(x)的最大值为f′\a\vs4\al\co1(\f(23))＝29＋2a.
令29＋2a>0，解得a>－19.
所以实数a的取值范围是\a\vs4\al\co1(－\f(19)，＋∞).
答案 \a\vs4\al\co1(－\f(19)，＋∞)
三、解答题
9.(2016·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间.
解 (1)∵f(x)＝xea－x＋bx，∴f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
由题意得f（2）＝2e＋2，f′（2）＝e－1，)即2ea－2＋2b＝2e＋2，－ea－2＋b＝e－1，)
解得a＝2，b＝e.
(2)由(1)得f(x)＝xe2－x＋ex，
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号.
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上递增，
∴g(x)≥g(1)＝1在R上恒成立，
∴f′(x)>0在R上恒成立.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).
10.设函数f(x)＝13x3－a2x2＋1.
(1)若a>0，求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
解 (1)由已知得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，
单调递减区间为(0，a).
(2)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，
即x∈(－2，－1)时，a<\a\vs4\al\co1(x＋\f(2x))max＝－22，
当且仅当x＝2x即x＝－2时等号成立.
所以满足要求的实数a的取值范围是(－∞，－22).
11.(2017·承德调考)已知f(x)是可导的函数，且f′(x)A.f(1)e2 017f(0)
B.f(1)>ef(0)，f(2 017)>e2 017f(0)
C.f(1)>ef(0)，f(2 017)D.f(1)汇总 令g(x)＝f（x）ex，
则g′(x)＝\f(f（x）ex))′＝f′（x）ex－f（x）（ex）′e2x＝f′（x）－f（x）ex<0，
所以函数g(x)＝f（x）ex在R上是单调减函数，
所以g(1)即f（1）e1故f(1)答案 D
12.(2016·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝x－13sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A.[－1，1] B.－1，\f(13))
C.－\f(113) D.－1，－\f(13))
汇总 ∵f(x)＝x－13sin 2x＋asin x，
∴f′(x)＝1－23cos 2x＋acos x＝－43cos2x＋acos x＋53.
由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立.
令t＝cos x，t∈[－1，1]，则－43t2＋at＋53≥0，
在t∈[－1，1]上恒成立.
∴4t2－3at－5≤0在t∈[－1，1]上恒成立.
令g(t)＝4t2－3at－5，
则g（1）＝－3a－1≤0，g（－1）＝3a－1≤0.)解之得－13≤a≤13.
答案 C
13.已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则实数t的取值范围是________.
汇总 由题意知f′(x)＝－x＋4－3x＝－（x－1）（x－3）x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1答案 (0，1)∪(2，3)
14.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·f′（x）＋\f(m2))在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围.
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝a（1－x）x，
当a>0时，f(x)的增区间为(0，1)，
减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)；
当a＝0时，f(x)不是单调函数.
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－a2＝1，即a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝2x－2x.
∴g(x)＝x3＋\a\vs4\al\co1(\f(m2)＋2)x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，
即g′(x)＝0在区间(t，3)上有变号零点.
由于g′(0)＝－2，∴g′（t）<0，g′（3）>0.)
当g′(t)<0，
即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1，2]恒成立，
由于g′(0)<0，故只要g
第2讲 第1课时 利用导数研究函数的单调性
一、选择题
1.函数f(x)＝xln x，则( )
A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减
C.在上递增 D.在上递减
汇总 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0得x>，令f′(x)<0得0
2.下面为函数y＝xsin x＋cos x的递增区间的是( )
A.\a\vs4\al\co1(\f(π3π2) B.(π，2π)
C.\a\vs4\al\co1(\f(3π5π2) D.(2π，3π)
汇总 y′＝(xsin x＋cos x)′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，当x∈\a\vs4\al\co1(\f(3π5π2)时，恒有xcos x>0.
答案 C
3.已知函数f(x)＝12x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
汇总 f′(x)＝32x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
答案 A
4.已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )
汇总 由y＝f′(x)的图像知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢.
答案 B
5.设函数f(x)＝12x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A.(1，2] B.(4，＋∞]
C.[－∞，2) D.(0，3]
汇总 ∵f(x)＝12x2－9ln x，∴f′(x)＝x－9x(x>0)，
当x－9x≤0时，有0
∴a－1>0且a＋1≤3，解得1
二、填空题
6.函数f(x)＝exx的单调递增区间为________.
汇总 函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝ex（x－1）x2，令f′(x)>0得x>1.
答案 (1，＋∞)
7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________.
汇总 f′(x)＝(2x3.裨－2a)ex＋(x2－2ax)ex
＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，
由题意当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立，
即x2＋(2－2a)x－2a≤0在x∈[－1，1]时恒成立.
令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，
则有g（－1）≤0，g（1）≤0，)
即（－1）2＋（2－2a）·（－1）－2a≤0，12＋2－2a－2a≤0，)解得a≥34.
答案 \f(34)，＋∞)
8.(2017·合肥模拟)若函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax在\f(23)，＋∞)上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________.
汇总 对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－\a\vs4\al\co1(x－\f(12))2＋14＋2a.
当x∈\f(23)，＋∞)时，
f′(x)的最大值为f′\a\vs4\al\co1(\f(23))＝29＋2a.
令29＋2a>0，解得a>－19.
所以实数a的取值范围是\a\vs4\al\co1(－\f(19)，＋∞).
答案 \a\vs4\al\co1(－\f(19)，＋∞)
三、解答题
9.(2016·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间.
解 (1)∵f(x)＝xea－x＋bx，∴f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
由题意得f（2）＝2e＋2，f′（2）＝e－1，)即2ea－2＋2b＝2e＋2，－ea－2＋b＝e－1，)
解得a＝2，b＝e.
(2)由(1)得f(x)＝xe2－x＋ex，
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号.
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上递增，
∴g(x)≥g(1)＝1在R上恒成立，
∴f′(x)>0在R上恒成立.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).
10.设函数f(x)＝13x3－a2x2＋1.
(1)若a>0，求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
解 (1)由已知得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，
单调递减区间为(0，a).
(2)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，
即x∈(－2，－1)时，a<\a\vs4\al\co1(x＋\f(2x))max＝－22，
当且仅当x＝2x即x＝－2时等号成立.
所以满足要求的实数a的取值范围是(－∞，－22).
11.(2017·承德调考)已知f(x)是可导的函数，且f′(x)
B.f(1)>ef(0)，f(2 017)>e2 017f(0)
C.f(1)>ef(0)，f(2 017)
则g′(x)＝\f(f（x）ex))′＝f′（x）ex－f（x）（ex）′e2x＝f′（x）－f（x）ex<0，
所以函数g(x)＝f（x）ex在R上是单调减函数，
所以g(1)
12.(2016·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝x－13sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A.[－1，1] B.－1，\f(13))
C.－\f(113) D.－1，－\f(13))
汇总 ∵f(x)＝x－13sin 2x＋asin x，
∴f′(x)＝1－23cos 2x＋acos x＝－43cos2x＋acos x＋53.
由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立.
令t＝cos x，t∈[－1，1]，则－43t2＋at＋53≥0，
在t∈[－1，1]上恒成立.
∴4t2－3at－5≤0在t∈[－1，1]上恒成立.
令g(t)＝4t2－3at－5，
则g（1）＝－3a－1≤0，g（－1）＝3a－1≤0.)解之得－13≤a≤13.
答案 C
13.已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则实数t的取值范围是________.
汇总 由题意知f′(x)＝－x＋4－3x＝－（x－1）（x－3）x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1
14.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·f′（x）＋\f(m2))在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围.
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝a（1－x）x，
当a>0时，f(x)的增区间为(0，1)，
减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)；
当a＝0时，f(x)不是单调函数.
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－a2＝1，即a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝2x－2x.
∴g(x)＝x3＋\a\vs4\al\co1(\f(m2)＋2)x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，
即g′(x)＝0在区间(t，3)上有变号零点.
由于g′(0)＝－2，∴g′（t）<0，g′（3）>0.)
当g′(t)<0，
即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1，2]恒成立，
由于g′(0)<0，故只要g
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