第二章 第4讲 二次函数性质的再研究与幂函数-2020高考理科数学【步步高】大一轮考点专项练
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若a≤0，则g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
若0∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
综上可得g(x)＝x＋ax－2a在(1，＋∞)上是增函数.
答案 D
5.若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)
C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)
汇总 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，
所以f(x)答案 A
二、填空题
6.已知P＝2－32，Q＝\a\vs4\al\co1(\f(25))3，R＝\a\vs4\al\co1(\f(12))3，则P，Q，R的大小关系是________.
汇总 P＝2－32＝\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)2))3，根据函数y＝x3是R上的增函数，且2)2>12>25，
得\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)2))3>\a\vs4\al\co1(\f(12))3>\a\vs4\al\co1(\f(25))3，即P>R>Q.
答案 P>R>Q
7.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是________.
汇总 由f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数可得[1，2]?[a，＋∞)，∴a≤1.
∵y＝1x＋1在(－1，＋∞)上为减函数，
∴由g(x)＝ax＋1在[1，2]上是减函数可得a>0，
故0答案 (0，1]
8.已知函数y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈－2，－\f(12))时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________.
汇总 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，
∵x∈－2，－\f(12))，
∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，
∴m≥1，n≤0，m－n≥1.∴m－n的最小值是1.
答案 1
三、解答题
9.已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)的图像经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.
解 幂函数f(x)的图像经过点(2，2)，
∴2＝2(m2＋m)－1，即212＝2(m2＋m)－1.
∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N＋，∴m＝1.∴f(x)＝x12，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数.
由f(2－a)>f(a－1)得2－a≥0，a－1≥0，2－a>a－1，
解得1≤a<32.∴a的取值范围为1，\f(32)).
10.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
对称轴x＝－32∈[－2，3]，
∴f(x)min＝f\a\vs4\al\co1(－\f(32))＝94－92－3＝－214，
f(x)max＝f(3)＝15，∴值域为－\f(214)，15).
(2)对称轴为x＝－2a－12.
①当－2a－12≤1，即a≥－12时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－13满足题意；
②当－2a－12>1，即a<－12时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意.
综上可知，a＝－13或－1.
11.(2016·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
汇总 ∵f(x)＝x2＋bx＝\a\vs4\al\co1(x＋\f(b2))2－b24，当x＝－b2时，f(x)min＝－b24.
又f(f(x))＝(f(x))2＋bf(x)＝\a\vs4\al\co1(f（x）＋\f(b2))2－b24，当f(x)＝－b2时，f(f(x))min＝－b24，当－b2≥－b24时，f(f(x))可以取到最小值－b24，即b2－2b≥0，解得b≤0或b≥2，故“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件.
答案 A
12.(2017·合肥一中期中测试)函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足f（x1）－f（x2）x1－x2>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
汇总 依题意，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴m2－m－1＝1，4m9－m5－1>0，)解得m＝2，则f(x)＝x2 015.
∴函数f(x)＝x2 015在R上是奇函数，且为增函数.
由a＋b>0，得a>－b，
∴f(a)>f(－b)，则f(a)＋f(b)>0.
答案 A
13.已知函数f(x)＝\f(2x（x－1）3，x<2，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______.
汇总 作出函数y＝f(x)的图像如图.则当0答案 (0，1)
14.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝f（x），x>0，－f（x），x<0，)求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围.
解 (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－b2a＝－1，
解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝（x＋1）2，x>0，－（x＋1）2，x<0.)
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0，1]上恒成立，
即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0，1]上恒成立.
又1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.
故b的取值范围是[－2，0].
第4讲 二次函数性质的再研究与幂函数 一、选择题 1.(2017·郑州外国语校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为( ) A.1，3 B.－1，1 C.－1，3 D.－1，1，3 汇总 因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3. 答案 A 2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( ) A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0 汇总 因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图像应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0. 答案 A 3.在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图像可能是( ) 汇总 若a0，
1).若a≤0，则g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
若0
综上可得g(x)＝x＋ax－2a在(1，＋∞)上是增函数.
答案 D
5.若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)
C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)
汇总 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，
所以f(x)
二、填空题
6.已知P＝2－32，Q＝\a\vs4\al\co1(\f(25))3，R＝\a\vs4\al\co1(\f(12))3，则P，Q，R的大小关系是________.
汇总 P＝2－32＝\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)2))3，根据函数y＝x3是R上的增函数，且2)2>12>25，
得\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)2))3>\a\vs4\al\co1(\f(12))3>\a\vs4\al\co1(\f(25))3，即P>R>Q.
答案 P>R>Q
7.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是________.
汇总 由f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数可得[1，2]?[a，＋∞)，∴a≤1.
∵y＝1x＋1在(－1，＋∞)上为减函数，
∴由g(x)＝ax＋1在[1，2]上是减函数可得a>0，
故0
8.已知函数y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈－2，－\f(12))时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________.
汇总 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，
∵x∈－2，－\f(12))，
∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，
∴m≥1，n≤0，m－n≥1.∴m－n的最小值是1.
答案 1
三、解答题
9.已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)的图像经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.
解 幂函数f(x)的图像经过点(2，2)，
∴2＝2(m2＋m)－1，即212＝2(m2＋m)－1.
∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N＋，∴m＝1.∴f(x)＝x12，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数.
由f(2－a)>f(a－1)得2－a≥0，a－1≥0，2－a>a－1，
解得1≤a<32.∴a的取值范围为1，\f(32)).
10.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
对称轴x＝－32∈[－2，3]，
∴f(x)min＝f\a\vs4\al\co1(－\f(32))＝94－92－3＝－214，
f(x)max＝f(3)＝15，∴值域为－\f(214)，15).
(2)对称轴为x＝－2a－12.
①当－2a－12≤1，即a≥－12时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－13满足题意；
②当－2a－12>1，即a<－12时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意.
综上可知，a＝－13或－1.
11.(2016·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
汇总 ∵f(x)＝x2＋bx＝\a\vs4\al\co1(x＋\f(b2))2－b24，当x＝－b2时，f(x)min＝－b24.
又f(f(x))＝(f(x))2＋bf(x)＝\a\vs4\al\co1(f（x）＋\f(b2))2－b24，当f(x)＝－b2时，f(f(x))min＝－b24，当－b2≥－b24时，f(f(x))可以取到最小值－b24，即b2－2b≥0，解得b≤0或b≥2，故“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件.
答案 A
12.(2017·合肥一中期中测试)函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足f（x1）－f（x2）x1－x2>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
汇总 依题意，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴m2－m－1＝1，4m9－m5－1>0，)解得m＝2，则f(x)＝x2 015.
∴函数f(x)＝x2 015在R上是奇函数，且为增函数.
由a＋b>0，得a>－b，
∴f(a)>f(－b)，则f(a)＋f(b)>0.
答案 A
13.已知函数f(x)＝\f(2x（x－1）3，x<2，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______.
汇总 作出函数y＝f(x)的图像如图.则当0
14.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝f（x），x>0，－f（x），x<0，)求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围.
解 (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－b2a＝－1，
解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝（x＋1）2，x>0，－（x＋1）2，x<0.)
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0，1]上恒成立，
即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0，1]上恒成立.
又1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.
故b的取值范围是[－2，0].
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