第三章 第2讲 第3课时 导数与函数的综合问题-2020高考理科数学【步步高】大一轮考点专项练
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汇总 ∵g′(x)＝1x，∴ln x＝1x.
设h(x)＝ln x－1x，
则h(x)在(0，＋∞)上为增函数.
又∵h(1)＝－1<0，h(2)＝ln 2－12＝ln 2－lne>0，
∴h(x)在(1，2)上有零点，∴1答案 D
5.(2017·宝鸡联考)已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：
x
－1
0
2
3
4
f(x)
1
2
0
2
0
f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示.当1A.1 B.2 C.3 D.4
汇总 根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图像如图所示.
由于f(0)＝f(3)＝2，1答案 D
二、填空题
6.已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
汇总 设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案 －2或2
7.若函数f(x)＝ax－ln x在\a\vs4\al\co1(\f(12)，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________.
汇总 由已知得f′(x)＝a－1x≥0对?x∈\a\vs4\al\co1(\f(12)，＋∞)恒成立，∴a≥1x对?x∈\a\vs4\al\co1(\f(12)，＋∞)恒成立，∵1x<112＝2，∴a≥2.
答案 [2，＋∞)
8.(2017·安徽江南名校联考)已知x∈(0，2)，若关于x的不等式xex<1k＋2x－x2恒成立，则实数k的取值范围为________.
汇总 依题意，知k＋2x－x2>0.
即k>x2－2x对任意x∈(0，2)恒成立，从而k≥0，
因此由原不等式，得k令f(x)＝exx＋x2－2x，则f′(x)＝(x－1)\a\vs4\al\co1(\f(exx2)＋2).
令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(1，2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，1)上单调递减，所以k故实数k的取值范围是[0，e－1).
答案 [0，e－1)
三、解答题
9.设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围.
解 令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，则g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a.
(1)当a≤1时，1－a≥0，∵x≥0，∴ln(x＋1)≥0，
∴g′(x)≥0，∴g(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴g(x)≥g(0)＝0，
∴当a≤1时，(x＋1)ln(x＋1)≥ax对x≥0都成立.
(2)当a>1时，令g′(x)＝0解得x＝ea－1－1.
当0ea－1－1时，g′(x)>0，
∴g(x)在(0，ea－1－1)上递减，在(ea－1－1，＋∞)上递增，
∴g(ea－1－1)∴当a>1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立.
综上，由(1)(2)可知，实数a的取值范围是(－∞，1].
10.(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝ln x－a（x－1）x(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：不等式(x＋1)ln x>2(x－1)对?x∈(1，2)恒成立.
(1)解 定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－ax2.
①a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
②a>0时，f(x)在(a，＋∞)上为增函数，在(0，a) 上为减函数.
(2)证明 法一 ∵x∈(1，2)，∴x＋1>0，
∴要证原不等式成立，即证ln x>2（x－1）x＋1对?x∈(1，2)恒成立，令g(x)＝ln x－2（x－1）x＋1，
g′(x)＝（x－1）2（x＋1）2≥0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴当x∈(1，2)时，g(x)>g(1)＝ln 1－2（1－1）1＋1＝0，
∴ln x>2（x－1）x＋1对?x∈(1，2)恒成立，
∴(x＋1)ln x>2(x－1)对?x∈(1，2)恒成立.
法二 令F(x)＝(x＋1)ln x－2(x－1)，
F′(x)＝ln x＋x＋1x－2，
＝ln x－x－1x.
令φ(x)＝ln x－x－1x，由(1)知a＝1时，
φ(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数.
∵x∈(1，2)，则φ(x)在(1，2)为增函数，φ(x)>φ(1)＝0，
即x∈(1，2)，F′(x)>0，∴F(x)在(1，2)上为增函数，
∴F(x)>F(4.beat（熟义：击打）v．①(心脏)跳动1)＝0，
∴(x＋1)ln x>2(x－1)对?x∈(1，2)恒成立.
11.函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.无数个
汇总 函数定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝6x＋1x－2＝6x2－2x＋1x，
由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1中Δ＝－20<0，
所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.
答案 A
12.(2014·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是( )
A.(2，＋∞) B.(－∞，－2)
C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)
汇总 法一 由题意a≠0，由f′(x)＝3ax2－6x＝0得x＝0或x＝2a.
当a>0时，f(x)在(－∞，0)和\a\vs4\al\co1(\f(2a)，＋∞)上单调递增，在\a\vs4\al\co1(0，\f(2a))上单调递减.
且f(0)＝1>0，故f(x)有小于0的零点，不符合题意，排除A，C.
当a<0时，要使x0>0且唯一，只需f\a\vs4\al\co1(\f(2a))>0，即a2>4，∴a<－2，故选B.
法二 f(x)有唯一正零点x0，等价于方程ax3－3x2＋1＝0有唯一正根x0，即a＝3x－1x3有唯一正根x0.
令g(x)＝3x－1x3，g′(x)＝3（1－x）（1＋x）x4，
∴g(x)在(－∞，－1)上递减，(－1，0)上递增，(0，1)上递增，(1，＋∞)上递减.
又g(－1)＝－2，g(1)＝2，且当x<－1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，
∴g(x)的大致图像如图：
∴直线y＝a与y＝g(x)有唯一交点，且横坐标x0>0，只需a答案 B
13.(2017·西安模拟)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)A.(－∞，0) B.(－∞，2)
C.(0，＋∞) D.(2，＋∞)
汇总 设g(x)＝f（x）ex，则g′(x)＝f′（x）－f（x）ex，
∵f(x)∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，
∵f(x)<2ex，∴f（x）ex<2，即g(x)∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞).
答案
第2讲 第3课时 导数与函数的综合问题 一、选择题 1.方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 汇总 设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6＜0，极小值为f(3)＝－10＜0，所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为1. 答案 C 2.若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则实数a的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C .(0，＋∞) D.(－1，＋∞) 汇总 ∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－. 令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln 2＞0. ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，[来源:ZXXK] ∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1， ∴实数a的取值范围为(－1，＋∞). 答案 D 3.(2017·山东省实验中诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则( )[来源:] A
C.2设h(x)＝ln x－1x，
则h(x)在(0，＋∞)上为增函数.
又∵h(1)＝－1<0，h(2)＝ln 2－12＝ln 2－lne>0，
∴h(x)在(1，2)上有零点，∴1
5.(2017·宝鸡联考)已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：
x
－1
0
2
3
4
f(x)
1
2
0
2
0
f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示.当1
汇总 根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图像如图所示.
由于f(0)＝f(3)＝2，1
二、填空题
6.已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
汇总 设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案 －2或2
7.若函数f(x)＝ax－ln x在\a\vs4\al\co1(\f(12)，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________.
汇总 由已知得f′(x)＝a－1x≥0对?x∈\a\vs4\al\co1(\f(12)，＋∞)恒成立，∴a≥1x对?x∈\a\vs4\al\co1(\f(12)，＋∞)恒成立，∵1x<112＝2，∴a≥2.
答案 [2，＋∞)
8.(2017·安徽江南名校联考)已知x∈(0，2)，若关于x的不等式xex<1k＋2x－x2恒成立，则实数k的取值范围为________.
汇总 依题意，知k＋2x－x2>0.
即k>x2－2x对任意x∈(0，2)恒成立，从而k≥0，
因此由原不等式，得k
令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(1，2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，1)上单调递减，所以k
答案 [0，e－1)
三、解答题
9.设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围.
解 令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，则g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a.
(1)当a≤1时，1－a≥0，∵x≥0，∴ln(x＋1)≥0，
∴g′(x)≥0，∴g(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴g(x)≥g(0)＝0，
∴当a≤1时，(x＋1)ln(x＋1)≥ax对x≥0都成立.
(2)当a>1时，令g′(x)＝0解得x＝ea－1－1.
当0
∴g(x)在(0，ea－1－1)上递减，在(ea－1－1，＋∞)上递增，
∴g(ea－1－1)
综上，由(1)(2)可知，实数a的取值范围是(－∞，1].
10.(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝ln x－a（x－1）x(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：不等式(x＋1)ln x>2(x－1)对?x∈(1，2)恒成立.
(1)解 定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－ax2.
①a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
②a>0时，f(x)在(a，＋∞)上为增函数，在(0，a) 上为减函数.
(2)证明 法一 ∵x∈(1，2)，∴x＋1>0，
∴要证原不等式成立，即证ln x>2（x－1）x＋1对?x∈(1，2)恒成立，令g(x)＝ln x－2（x－1）x＋1，
g′(x)＝（x－1）2（x＋1）2≥0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴当x∈(1，2)时，g(x)>g(1)＝ln 1－2（1－1）1＋1＝0，
∴ln x>2（x－1）x＋1对?x∈(1，2)恒成立，
∴(x＋1)ln x>2(x－1)对?x∈(1，2)恒成立.
法二 令F(x)＝(x＋1)ln x－2(x－1)，
F′(x)＝ln x＋x＋1x－2，
＝ln x－x－1x.
令φ(x)＝ln x－x－1x，由(1)知a＝1时，
φ(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数.
∵x∈(1，2)，则φ(x)在(1，2)为增函数，φ(x)>φ(1)＝0，
即x∈(1，2)，F′(x)>0，∴F(x)在(1，2)上为增函数，
∴F(x)>F(4.beat（熟义：击打）v．①(心脏)跳动1)＝0，
∴(x＋1)ln x>2(x－1)对?x∈(1，2)恒成立.
11.函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.无数个
汇总 函数定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝6x＋1x－2＝6x2－2x＋1x，
由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1中Δ＝－20<0，
所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.
答案 A
12.(2014·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是( )
A.(2，＋∞) B.(－∞，－2)
C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)
汇总 法一 由题意a≠0，由f′(x)＝3ax2－6x＝0得x＝0或x＝2a.
当a>0时，f(x)在(－∞，0)和\a\vs4\al\co1(\f(2a)，＋∞)上单调递增，在\a\vs4\al\co1(0，\f(2a))上单调递减.
且f(0)＝1>0，故f(x)有小于0的零点，不符合题意，排除A，C.
当a<0时，要使x0>0且唯一，只需f\a\vs4\al\co1(\f(2a))>0，即a2>4，∴a<－2，故选B.
法二 f(x)有唯一正零点x0，等价于方程ax3－3x2＋1＝0有唯一正根x0，即a＝3x－1x3有唯一正根x0.
令g(x)＝3x－1x3，g′(x)＝3（1－x）（1＋x）x4，
∴g(x)在(－∞，－1)上递减，(－1，0)上递增，(0，1)上递增，(1，＋∞)上递减.
又g(－1)＝－2，g(1)＝2，且当x<－1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，
∴g(x)的大致图像如图：
∴直线y＝a与y＝g(x)有唯一交点，且横坐标x0>0，只需a
13.(2017·西安模拟)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)
C.(0，＋∞) D.(2，＋∞)
汇总 设g(x)＝f（x）ex，则g′(x)＝f′（x）－f（x）ex，
∵f(x)
∵f(x)<2ex，∴f（x）ex<2，即g(x)
答案
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