第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性-2020高考理科数学【步步高】大一轮考点专项练
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C.(－1，0) D.(－1，2)
汇总 ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∵f(1)<1，f(5)＝2a－3a＋1，
∴2a－3a＋1<1，即a－4a＋1<0，
解得－1答案 A
12.对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝( )
A.0 B.2 C.3 D.4
汇总 y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图像关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，
令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，
∴f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，
则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，
即f(x＋2)＝f(x)，
则函数的周期是2，又f(0)＝2，
则f(2 015)＋f(2 016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.
答案 B
13.(2017·东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
汇总 因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.
又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，
∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图像在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
答案 7
14.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积.
解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x).
故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如下图所示.
当－4≤x≤4时，f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×\a\vs4\al\co1(\f(12)×2×1)＝4.
第3讲 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1.(2017·肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 汇总 y＝xcos x为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lg与 y＝xsin x为偶函数. 答案 B 2.(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A.奇函数，且在(0，1)内是增函数 B.奇函数，且在(0，1)内是减函数 C.偶函数，且在(0，1)内是增函数 D.偶函数，且在(0，1)内是减函数 汇总 易知f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数， 又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0，1)上是增函数， 所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0，1)上是增函数. 答案 A 3.(2017·赣中南五校联考)已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax
A.(－1，4) B.(－2，0)C.(－1，0) D.(－1，2)
汇总 ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∵f(1)<1，f(5)＝2a－3a＋1，
∴2a－3a＋1<1，即a－4a＋1<0，
解得－1
12.对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝( )
A.0 B.2 C.3 D.4
汇总 y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图像关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，
令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，
∴f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，
则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，
即f(x＋2)＝f(x)，
则函数的周期是2，又f(0)＝2，
则f(2 015)＋f(2 016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.
答案 B
13.(2017·东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
汇总 因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.
又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，
∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图像在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
答案 7
14.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积.
解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x).
故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如下图所示.
当－4≤x≤4时，f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×\a\vs4\al\co1(\f(12)×2×1)＝4.
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