题组层级快练39-智高点高三数学作业集
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A．a2>b2 B．a3C．a5>b5 D．a6>b6
答案 A
汇总 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d，q，则由题意得解得则a2－b2＝3－>3－＝0；故选A.
11．数列{an}是等差数列，若a1，a3，a4是等比数列{bn}中的连续三项，则数列{bn}的公比为________．
答案 或1
汇总 设数列{an}的公差为d，由题可知，a32＝a1·a4，可得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，整理得(a1＋4d)d＝0，解得d＝0或a1＝－4d.当d＝0时，等比数列{bn}的公比为1；当a1＝－4d时，a1，a3，a4分别为－4d，－2d，－d，所以等比数列{bn}的公比为.
12．(2017·广东潮州期末)从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
答案 4
汇总 设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1＝，设操作n次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为an，则an＋1＝an·，∴an＝a1qn－1＝()n，∴()n<，解得n≥4.
13．(2015·浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
答案 (1)an＝2n，bn＝n (2)Tn＝(n－1)2n＋1＋2
汇总 (1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．
由题意知：
当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.
n≥2时，b1＋b2＋…＋bn－1＝bn－1和原递推式作差得bn＝bn＋1－bn，整理得＝，所以bn＝n(n∈N*)．
(2)由①知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．
14．(2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e12＋e22＋…＋en2.
答案 (1)an＝2n－1(n∈N*) (2)n＋(3n－1)
汇总 (1)由已知Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.
又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，
故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．
所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
从而an＝qn－1.
由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，
所以a3＝2a2，故q＝2，
所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)可知，an＝qn－1.
所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.
由e2＝＝2解得q＝.
所以e12＋e22＋…＋en2＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋＝n＋(3n－1)．
15．(2018·衡水中学调研卷)若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.
(1)求实施新政策
专题层级快练（三十九） （第一次作业） 1.设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=（ ） A.2 B.-2 C. D.- 答案 D 汇总 S1=a1,S2=a1 a2=2a1-1,S4=4a1-6. ∵S22=S1S4,∴（2a1-1）2=a1（4a1-6）. ∴4a12-4a1 1=4a12-6a1?a1=-. 2.（2017·山西四校联考）已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=（ ） A.1 B.1- C.3 2 D.3-2 答案 C 汇总 因为a1,a3,2a2成等差数列,所以a3×2=a1 2a2,即a1q2=a1 2a1q,所以q2=1 2q,解得q=1 或q=1-（舍）,所以==q2=（1 ）2=3 2. 3.已知{an}是等差数列,a1=15,S5=55,则过点P（3,a2）,Q（4,a4）的直线的斜率为（ ） A.4 B. C.-4 D.- 答案
10．(2018·温州十校联考)设数列{an}和{bn}分别是等差数列与等比数列，且a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，则以下结论正确的是( )A．a2>b2 B．a3
答案 A
汇总 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d，q，则由题意得解得则a2－b2＝3－>3－＝0；故选A.
11．数列{an}是等差数列，若a1，a3，a4是等比数列{bn}中的连续三项，则数列{bn}的公比为________．
答案 或1
汇总 设数列{an}的公差为d，由题可知，a32＝a1·a4，可得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，整理得(a1＋4d)d＝0，解得d＝0或a1＝－4d.当d＝0时，等比数列{bn}的公比为1；当a1＝－4d时，a1，a3，a4分别为－4d，－2d，－d，所以等比数列{bn}的公比为.
12．(2017·广东潮州期末)从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
答案 4
汇总 设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1＝，设操作n次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为an，则an＋1＝an·，∴an＝a1qn－1＝()n，∴()n<，解得n≥4.
13．(2015·浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
答案 (1)an＝2n，bn＝n (2)Tn＝(n－1)2n＋1＋2
汇总 (1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．
由题意知：
当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.
n≥2时，b1＋b2＋…＋bn－1＝bn－1和原递推式作差得bn＝bn＋1－bn，整理得＝，所以bn＝n(n∈N*)．
(2)由①知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．
14．(2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e12＋e22＋…＋en2.
答案 (1)an＝2n－1(n∈N*) (2)n＋(3n－1)
汇总 (1)由已知Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.
又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，
故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．
所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
从而an＝qn－1.
由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，
所以a3＝2a2，故q＝2，
所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)可知，an＝qn－1.
所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.
由e2＝＝2解得q＝.
所以e12＋e22＋…＋en2＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋＝n＋(3n－1)．
15．(2018·衡水中学调研卷)若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.
(1)求实施新政策
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