题组层级快练44-智高点高三数学作业集
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汇总 注意基本不等式等号成立的条件是“a＝b”，同时考虑函数的定义域，A中x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若sinx＝取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．D中没有最小值．故选C.
3．设0A. aC．a<答案 B
汇总 方法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，则有0方法二(直接法)：我们知道算术平均数与几何平均数的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B.
4．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 D
汇总 ∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2，故选D.
5．若x，y是正数，则(x＋)2＋(y＋)2的最小值是( )
A．3 B.
C．4 D.
答案 C
汇总 原式＝x2＋＋＋y2＋＋≥4.
当且仅当x＝y＝时取“＝”号．
6．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为( )
A. B．4
C. D．2
答案 C
汇总 ∵4＝2a＋b≥2，∴ab≤2，≥，当且仅当a＝1，b＝2时取等号．
7．若x<0，则函数y＝x2＋－x－的最小值是( )
A．－ B．0
C．2 D．4
答案 D
汇总 y＝x2＋－x－≥2＋2＝4，当且仅当x＝－1时取等号．
8．(2015·湖南，文)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
答案 C
汇总 方法一：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2.
方法二：由题设易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当b＝2a时取“＝”号，选C.
9．(2017·金山模拟)函数y＝(x>1)的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
答案 A
汇总 ∵x>1，∴x－1>0.
∴y＝＝＝
＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．
10．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 B
汇总 (x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2＝(＋1)2，
当且仅当a·＝，即ax2＝y2时“＝”成立．
∴(x＋y)(＋)的最小值为(＋1)2≥9.
∴a≥4.
11．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( )
A. B．2
C. D.
答案 A
汇总 方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝sinβ，n＝cosβ，其中α，β∈R.
∴mx＋ny＝sinβsinα＋cosβcosα＝cos(α－β)．故选A.
方法二：由已知(x2＋y2)·(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤.
12．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
答案 A
13．(2017·四川成都外国语学校)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为( )
A．16 B．9
C．6 D．1
答案 C
汇总 方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以＋≥2＝2×3＝6.
方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)(＋)－10≥16－10＝6.
方法三：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6.
14．(1)当x>1时，x＋的最小值为________；
(2)当x≥4时，x＋的最小值为________．
答案 (1)5 (2)
汇总 (1)∵x>1，∴x－1>0.
∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5.
(当且仅当x－1＝.即x＝3时“＝”号成立)
∴x＋的最小值为5.
(2)∵x≥4，∴x－1≥3.
∵函数y＝x＋在[3，＋∞)上为增函数，
∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋＋1有最小值.
15．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋的最小值为________．
答案
汇总 ab≤()2＝，
当且仅当a＝b＝时取等号．
y＝x＋在x∈(0，]上为减函数．
∴ab＋的最小值为＋4＝.
16．已知a>b>0，求a2＋的最小值．
答案 16
思路 由b(a－b)求出最大值，从而去掉b，再由a2＋，求出最小值．
汇总 ∵a>b>0，∴a－b>0.
∴b(a－b)≤[]2＝.
∴a2＋≥a2＋≥2＝16.
当a2＝且b＝a－b，即a＝2，b＝时等号成立．
∴a2＋的最小值为16.
17．(2017·江西重点中学盟校联考)设x，y均为正实数，且＋＝，求xy的最小值．
答案 16
汇总 由＋＝，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理为xy＝x＋y＋8.∵x，y均为正实数，∴xy＝x＋y＋8≥2＋8，∴()2－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取等号，∴xy的最小值为16.
18．(2018·辽宁抚顺一中月考)某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x(0(1)将臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y表示为x的函数；
(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．
答案 (1)y＝＋(0汇总 (1)由题意得y＝＋(0当x＝10时，y＝0.065，代入上式，得k＝9.
所以y＝＋(0(2)y＝＋＝(＋)[(400－x2)＋x2]
＝[4＋9＋＋]
≥[13＋2]＝，
当且仅当＝，即x＝4时取“＝”．
所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为.
1．下列命题中正确的是( )
A．函数y＝x＋的最小值为2
B．函数y＝的最小值为2
C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4
D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4
答案 D
汇总 y＝x＋的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，有最小值2，当x<0时，有最大值－2，故A项不正确；
y＝＝＋≥2，
∵≥，∴取不到“＝”，故B项不正确；
∵x>0时，3x＋≥2·＝4，
当且仅当3x＝，即x＝时取“＝”，
∴y＝2－(3x＋)有最大值2－4，故C项不正确，D项正确．
2．(2014·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
答案 D
汇总 因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a>0，b>0，所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，选择D项．
3．(2016·人大附中月考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
汇总 ＋＋＝，
当abc＝1时，≤[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]＝a＋b＋c.
故abc＝1?＋＋≤a＋b＋c.
反过来，若a＝b＝1，c＝4，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，
∴“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
4．(2017·山东师大附中月考
题组层级快练（四十四） 1.已知a,b∈（0,1）且a≠b,下列各式中最大的是（ ） A.a2 b2 B.2 C.2ab D.a b 答案 D 汇总 只需比较a2 b2与a b.由于a,b∈（0,1）,∴a2《a,b2《b,∴a2 b2《a b. 2.下列函数中,最小值为4的是（ ） A.y=x B.y=sinx （0《x《π） C.y=4ex e-x D.y=log3x logx3（0《x《1） 答案 C 汇总 注意基本不等式等号成立的条件是“a=b”,同时考虑函数的定义域,A中x的定义域为{x|x∈R,且x≠0},函数没有最小值；B中若sinx=取到最小值4,则sin2x=4,显然不成立.D中没有最小值.故选C. 3.设0《a《b,则下列不等式中正确的是 （ ） A. a《b《《 B.a《《《b[来源:] C.a《《b《 D. 《a《《b 答案 B 汇总 方法一（特值法）:代入a=1,b=2,则有0《a=1《=《=1.5《b=2. 方法二（直接法）:我们知道算术平均数与几
答案 C汇总 注意基本不等式等号成立的条件是“a＝b”，同时考虑函数的定义域，A中x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若sinx＝取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．D中没有最小值．故选C.
3．设0
汇总 方法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，则有0
4．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 D
汇总 ∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2，故选D.
5．若x，y是正数，则(x＋)2＋(y＋)2的最小值是( )
A．3 B.
C．4 D.
答案 C
汇总 原式＝x2＋＋＋y2＋＋≥4.
当且仅当x＝y＝时取“＝”号．
6．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为( )
A. B．4
C. D．2
答案 C
汇总 ∵4＝2a＋b≥2，∴ab≤2，≥，当且仅当a＝1，b＝2时取等号．
7．若x<0，则函数y＝x2＋－x－的最小值是( )
A．－ B．0
C．2 D．4
答案 D
汇总 y＝x2＋－x－≥2＋2＝4，当且仅当x＝－1时取等号．
8．(2015·湖南，文)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
答案 C
汇总 方法一：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2.
方法二：由题设易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当b＝2a时取“＝”号，选C.
9．(2017·金山模拟)函数y＝(x>1)的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
答案 A
汇总 ∵x>1，∴x－1>0.
∴y＝＝＝
＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．
10．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 B
汇总 (x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2＝(＋1)2，
当且仅当a·＝，即ax2＝y2时“＝”成立．
∴(x＋y)(＋)的最小值为(＋1)2≥9.
∴a≥4.
11．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( )
A. B．2
C. D.
答案 A
汇总 方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝sinβ，n＝cosβ，其中α，β∈R.
∴mx＋ny＝sinβsinα＋cosβcosα＝cos(α－β)．故选A.
方法二：由已知(x2＋y2)·(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤.
12．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
答案 A
13．(2017·四川成都外国语学校)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为( )
A．16 B．9
C．6 D．1
答案 C
汇总 方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以＋≥2＝2×3＝6.
方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)(＋)－10≥16－10＝6.
方法三：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6.
14．(1)当x>1时，x＋的最小值为________；
(2)当x≥4时，x＋的最小值为________．
答案 (1)5 (2)
汇总 (1)∵x>1，∴x－1>0.
∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5.
(当且仅当x－1＝.即x＝3时“＝”号成立)
∴x＋的最小值为5.
(2)∵x≥4，∴x－1≥3.
∵函数y＝x＋在[3，＋∞)上为增函数，
∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋＋1有最小值.
15．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋的最小值为________．
答案
汇总 ab≤()2＝，
当且仅当a＝b＝时取等号．
y＝x＋在x∈(0，]上为减函数．
∴ab＋的最小值为＋4＝.
16．已知a>b>0，求a2＋的最小值．
答案 16
思路 由b(a－b)求出最大值，从而去掉b，再由a2＋，求出最小值．
汇总 ∵a>b>0，∴a－b>0.
∴b(a－b)≤[]2＝.
∴a2＋≥a2＋≥2＝16.
当a2＝且b＝a－b，即a＝2，b＝时等号成立．
∴a2＋的最小值为16.
17．(2017·江西重点中学盟校联考)设x，y均为正实数，且＋＝，求xy的最小值．
答案 16
汇总 由＋＝，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理为xy＝x＋y＋8.∵x，y均为正实数，∴xy＝x＋y＋8≥2＋8，∴()2－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取等号，∴xy的最小值为16.
18．(2018·辽宁抚顺一中月考)某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x(0
(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．
答案 (1)y＝＋(0
所以y＝＋(0
＝[4＋9＋＋]
≥[13＋2]＝，
当且仅当＝，即x＝4时取“＝”．
所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为.
1．下列命题中正确的是( )
A．函数y＝x＋的最小值为2
B．函数y＝的最小值为2
C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4
D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4
答案 D
汇总 y＝x＋的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，有最小值2，当x<0时，有最大值－2，故A项不正确；
y＝＝＋≥2，
∵≥，∴取不到“＝”，故B项不正确；
∵x>0时，3x＋≥2·＝4，
当且仅当3x＝，即x＝时取“＝”，
∴y＝2－(3x＋)有最大值2－4，故C项不正确，D项正确．
2．(2014·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
答案 D
汇总 因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a>0，b>0，所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，选择D项．
3．(2016·人大附中月考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
汇总 ＋＋＝，
当abc＝1时，≤[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]＝a＋b＋c.
故abc＝1?＋＋≤a＋b＋c.
反过来，若a＝b＝1，c＝4，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，
∴“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
4．(2017·山东师大附中月考
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