上海市七宝中学2017-2018学年高一上学期期中数学试题

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"\r\u0013 PAGE \\* MERGEFORMAT \u00141\u0015\r汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！\r七宝中高一上期中\r一.填空题\r1.设全集，集合，，，则实数的值是____________.\r2.函数定义域为________.\r3.设函数.则函数________\r4.“存在，使得”的否定形式为_________\r5.已知是上的奇函数，且当时

18.有一批材料可以建成200m的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形，如何设计这块矩形场地的长和宽，能使面积最大，并求出最大面积.
19.设二次函数在区间上的最大值、最小值分别为，集合.
（1）若，且，求；
（2）若，且，记，求的最小值.
20.已知函数（常数）满足.
（1）求的值，并对常数的不同取值讨论函数奇偶性；
（2）若在区间上单调递减，求的最小值.
（3）若方程在有解，求的取值范围.
21.已知，满足.
（1）求证：；
（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数，使对任意恒成立，试写出一个，并证明之；
（3）现换个角度推广：正整数满足什么条件时，不等式对任意恒成立，试写出条件并证明之.


精品汇总：上海市七宝中学2017-2018学年高一上学期期中数学试题（汇总版）.doc：七宝中学高一上期中
一.填空题
1.设全集，集合，，，则实数的值是____________.
【答案】或
【汇总】
【分析】
由，，，可得出集合，在根据得出的值，从而求出.
【详解】因为，，，所以，又，
所以，所以或.
故答案为：或.
【点睛】本题主要考查集合间的关系，属于基础题.
2.函数的定义域为________.
【答案】
【汇总】
【分析】
根据偶次根式的被开方非负和分母不为0列式可解得.
【详解】要使函数有意义,只需 ,解得且.
故函数的定义域为.
故答案为:
【点睛】
本题考查了含偶次根式和分母的函数定义域的求法,属于基础题.
3.设函数.则函数________
【答案】
【汇总】
【分析】
先求出两个函数的定义域，得出积函数的定义域，即的定义域为，，，再利用根式的运算法则得到的汇总式即可．
【详解】先求出两个函数的定义域，
的定义域为；
的定义域为，
的定义域为，，，且，
故答案为：，，，．
【点睛】本小题主要考查函数定义域的应用、函数的积、函数汇总式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
4.“存在，使得”的否定形式为_________
【答案】对任意
【汇总】
【分析】
根据命题“存在，使得”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“ “改为“”即可得答案．
【详解】命题“存在，使得”是特称命题
命题的否定为：对任意，．
故答案为：对任意，．
【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5.已知是上奇函数，且当时，，则的汇总式为_________
【答案】
【汇总】
【分析】
先根据奇函数的性质求出时的汇总式，以及在处的函数值，最后利用分段函数表示即可．
【详解】设，则
是上的奇函数，
即
而
综上所述的汇总式为
故答案为
【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用，以及函数汇总式的求解，属于基础题．
6.的最小值为 ．
【答案】3
【汇总】
本小题考查二元基本不等式的运用．由得，代入得，当且仅当时取“=”．
【此处有视频，请去附件查看】
7.已知，若，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
判断函数的单调性，利用单调性转化为自变量的不等式，即可求解.
【详解】在区间都是增函数，
并且在处函数连续，所以在上是增函数，
等价于，
解得.
故答案为:
【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题.
8.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______；
【答案】
【汇总】
【分析】
由题意有，由绝对值的几何意义(绝对值的三角不等式)可得，所以，解出的范围.
【详解】对于，不等式恒成立,
则，
又,
所以，解得：.
故答案为：
【点睛】本题考查绝对值的意义，绝对值不等式和二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题.
9.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为__________．
【答案】
【汇总】
由题意得 ，由得 ，因此
10.在△中，，，，为角平分线上一点，且在△内部，则到三边距离倒数之和的最小值为________
【答案】
【汇总】
【分析】
先根据题意建立平面直角坐标系，求出所在直线的方程为和角
平分线的方程为，求出交点的坐标，令，依题意知，根据点到直线的距离表示出到三边的距离的倒数和，构造函数，，利用导数求出函数的最小值．
【详解】
由，，可知△为直角三角形，以为原点，以直角边为轴，直角边为轴建立平面直角坐标系，易知，，角平分线的方程为，由截距式知所在直线的方程为，即，
解得，令依题可知，
由点到直线的距离公式知到的距离为，
则到三边距离倒数之和为

令，，
则，
令，即有（该极值点在区间上），
当 时，，则递减；
当时，，则递增，

故答案为
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、导数和函数的最值关系，培养了学生的计算能力、转化能力，属于中档题．
11.已知函数，若方程有6个不同的根,则的取值范围是________
【答案】
【汇总】
【分析】
利用分段函数求出的表达式，然后作出函数的图象，根据图象利用换元法将条件进行转化，利用数形结合即可得到结论．
【详解】函数，
作出函数的图象如图：
设，
则由图象可知，当时，方程有4个不同的根，
当时，方程有2个不同的根，
当时，方程有0个不同的根，
由等价为，
若有6个不同的零点，
则方程有两个不同的根，
其中，，
则，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数零点的应用，利用条件求出函数的表达式，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
12.若规定的子集为E的第个子集,其中则E的第个子集是____________.
【答案】
【汇总】
【分析】
根据题意，分别讨论取值，通过讨论计算的可能取值，即可得出答案.
【详解】，而，
的第个子集包含，
此时，
，，
的第个子集包含，
此时，
，，
的第个子集包含，
此时，
，，
的第个子集包含，
此时，
的第个子集包含，
的第个子集是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了与集合有关的信息题，理解条件的定义是解决本题的关键.
二.选择题
13.“”是“不等式成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【汇总】
【分析】
利用绝对值不等式的解法化简条件“不等式成立”,判断出两个集合的包含关系,根据小范围成立大范围内就成立,判断出前者是后者的充分不必要条件.
【详解】解：因为,
因,
所以“”是“不等式成立”的充分不必要条件,
故选：A
【点睛】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断.
14.已知命题成立可推出命题不成立，那么下列说法一定正确的是（ ）
A. 命题成立可推出命题成立
B. 命题不成立可推出命题不成立
C. 命题不成立可推出命题成立
D. 命题成立可推出命题不成立
【答案】D
【汇总】
【分析】
直接根据原命题与逆否命题是等价的，则真假性一致，从而可判定选项的真假．