[80分] 12＋4标准练(四)
1．已知集合M＝{x|x<1}，N＝{x|2x>1}，则M∩N等于( )
A．{x|0C．{x|x<1} D．?
答案 A
汇总 N＝{x|2x>1}＝{x|x>0}，
∵M＝{x|x<1}，∴M∩N＝{x|02．设i是虚数单位，若复数z＝i1＋i，则z的共轭复数为( )
A.12＋12i B．1＋12i
C．1－12i D.12－12i
答案 D
汇总 复数z＝i1＋i＝i＋12，根据共轭复数的概念得到，z的共轭复数为z＝12－12i.
3．(2019·泸州诊断)某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1,2,3,4,5,6的队员进行实弹射击比赛，每人射击1次，击中的环数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
6号
甲队
6
7
7
8
7
7
乙队
6
7
6
7
9
7
则以上两组数据的方差中较小的一个等于( )
A.16 B.13 C.12 D．1
答案 B
汇总 甲组数据为：6,7,7,8,7,7，
乙组数据为：6,7,6,7,9,7，
所以甲组数据波动较小，方差也较小，
甲组数据的平均数为x＝16×(6＋7＋7＋8＋7＋7)＝7，
方差为s2＝16×[(－1)2＋0＋0＋12＋0＋0]＝13.
4．(2019·河南名校联考)若函数f(x)＝x3－2ln x＋4，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝x＋4 B．y＝x－3
C．y＝2x＋3 D．y＝3x＋2
答案 A
汇总 依题意知f(1)＝5，f′(x)＝3x2－2x，f′(1)＝1，
由点斜式得y－5＝x－1，即切线方程为y＝x＋4.
5．已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a在b方向上的投影为( )
A．1 B.2
C.12 D.2)2
答案 D
汇总 设a与b的夹角为θ，
∵a⊥(a－b)，
∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，
即a2－|a|·|b|cos θ＝0，
∴cos θ＝2)2，
∴向量a在b方向上的投影为|a|·cos θ＝2)2.
6．(2019·东北三省四市模拟)我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为26；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为24π.
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
汇总 由三视图可知，该几何体为四棱锥P－ABCD，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝2，
PD⊥平面ABCD，PD＝2，
对于①，易证AB⊥平面PAD，BC⊥平面PCD，故四个侧面都是直角三角形；
对于②，PB＝4＋16＋4＝26，故正确；
对于③，四个侧面中没有全等的直角三角形，故错误；
对于④，外接球的直径为PB＝26，故外接球的表面积为24π，正确．
7．(2019·全国Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M1?R＋r?2＋M2r2＝(R＋r)·M1R3.设α＝rR.由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5?1＋α?2≈3α3，则r的近似值为( )
A.M2M1)R B.M22M1)R C.33M2M1R D.3M23M1R
答案 D
汇总 由M1?R＋r?2＋M2r2＝(R＋r)M1R3，得M1\rc\R))＋M2\rc\R))＝\a\vs4\al\co1(1＋\f(rR))M1.因为α＝rR，所以M1?1＋α?2＋M2α2＝(1＋α)M1，得3α3＋3α4＋α5?1＋α?2＝M2M1.由3α3＋3α4＋α5?1＋α?2≈3α3，得3α3≈M2M1，即3\a\vs4\al\co1(\f(rR))3≈M2M1，所以r≈3M23M1·R，故选D.
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为\a\vs4\al\co1(\f(π2)，0)，且f?\a\vs4\al\co1(\f(π4))＝12，则ω的最小值为( )
A.23 B．1 C.43 D．2
答案 A
汇总 方法一 当x＝π2时，ωx＋φ＝π2ω＋φ＝k1π，k1∈Z，
当x＝π4时，ωx＋φ＝π4ω＋φ＝2k2π＋π6或2k2π＋5π6，k2∈Z，
两式相减，得π4ω＝(k1－2k2)π－π6或(k1－2k2)π－5π6，k1，k2∈Z，
即ω＝4(k1－2k2)－23或4(k1－2k2)－103，k1，k2∈Z，
又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.
方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，
解得ω＝23.
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，tan A＋B2＝sin C，若c＝2，则△ABC的周长的取值范围是( )
A．(2,22] B．(22，4]
C．(4,2＋22] D．(2＋22，6]
答案 C
汇总 由题意可得，
tan A＋B2＝tan\a\vs4\al\co1(\f(πC2)＝C2C2
＝2sin C2cos C2，
则sin2C2＝12，即1－cos C2＝12，
∴cos C＝0，C＝π2.
据此可得△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，
则4＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2×\a\vs4\al\co1(\f(a＋b2))2，
据此有a＋b≤22，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．
∴△ABC的周长a＋b＋c≤2＋22.
又三角形满足两边之和大于第三边，
则a＋b>2，∴a＋b＋c>4.
综上可得，△ABC周长的取值范围是(4,2＋22]．
10．一个三棱锥A－BCD内接于球O，且AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，AB＝CD＝13，则球心O到平面ABC的距离是( )
A.15)2 B.15)3 C.15)4 D.15)6
答案 D
汇总 由题意可得三棱锥A－BCD的三对对棱分别相等，
所以可将三棱锥补成一个长方体AEDF－GCHB，如图所示，
该长方体的外接球就是三棱锥A－BCD的外接球O，长方体AEDF－GCHB共顶点的三条面对角线的长分别为3,4，13，
设球O的半径为R，长方体的长、宽、高分别为x，y，z，
由题意可知，x2＋y2＝9，x2＋z2＝16，y2＋z2＝13，解得x2＝6，y2＝3，z2＝10，
则(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6＋3＋10＝19，即4R2＝19.
在△ABC中，由余弦定理得
cos∠ACB＝13)?22×3×4＝12，
则sin∠ACB＝3)2，
再由正弦定理得ABsin∠ACB＝2r(r为△ABC外接圆的半径)，则r＝＝39)3，
因此球心O到平面ABC的距离d＝R2－r2＝15)6.
11．(2019·湖南省三湘名校联考)如图，O是坐标原点，过E(p,0)的直线交抛物线y2＝2px(p>0)于A，B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x＝p相交于点N.则|ME|2－|NE|2等于( )
A．2p B．p2 C．2p2 D．4p2
答案 C
汇总 过E(p,0)的直线交抛物线y2＝2px(p>0)于A，B，两点为任意的，不妨设直线AB为x＝p，
由y2＝2px，x＝p，)解得y＝±2p，
则A(p，－2p)，B(p，2p)，
∵直线BM的方程为y＝2x，直线AM的方程为y＝－2p，
解得M(－p，－2p)，
∴|ME|2＝(2p)2＋2p2＝6p2，
设过点M且与此抛物线相切的直线为
y＋2p＝k(x＋p)，
由y2＝2px，y＋\r(2)p＝k?x＋p?，)
消去x整理可得ky2－2py－22p2＋2p2k＝0，
∴Δ＝4p2－4k(－22p2＋2p2k)＝0，
解得k＝2)2(舍负)，
∴过点M与此抛物线相切的直线方程为
y＋2p＝2)2(x＋p)，
由x＝p，2)p＝\f(2＋\r(22)?x＋p?，解得N(p,2p)，
∴|NE|2＝4p2，
∴|ME|2－|NE|2＝6p2－4p2＝2p2.
12．(2019·上饶模拟)已知实数x，y满足ln(4x＋3y－6)－ex＋y－2≥3x＋2y－6，则x＋y的值为( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
答案 A
汇总 设m＝4x＋3y－6，n＝x＋y－2，
则m－n＝3x＋2y－4，
则原不等式可化为ln m－en≥m－n－2，
即ln m－m≥en－n－2，m>0，
令f(m)＝ln m－m，f′(m)＝1
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