突破练(五) 直线与圆锥曲线-2020高考文科数学【步步高】大二轮22题逐题特训(通用版)

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(五)直线与圆锥曲线 1．(2019·上饶模拟)已知椭圆D：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，点(，－1)在椭圆D上． (1)求椭圆D的标准方程； (2)过y轴上一点E(0，t)且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，设直线OA，OB(O为坐标原点)的斜率分别为kOA，kOB，若对任意实数k，存在λ∈[2,4]，使得kOA＋kOB＝λk，求实数t的取值范围． 解　(1)椭圆D的离心率e＝ ＝，∴a＝b， 又点(，－1)在椭圆D上， ∴＋＝1，得a＝2，b＝， ∴椭圆D的标准方程为＋＝1. (2)由题意得，直线l的方程为y＝kx＋t， 由消元可得 (2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－4＝0， Δ＝16k2t2－4(2k2＋1)(2t2－4)>0. 设A(x1，y1)， B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， kOA＋kOB＝＋＝＋ ＝2k＋＝2k＋t·· ＝－， 由kOA＋kOB＝λk，得－＝λ， 即t2＝2－， 又λ∈[2,4]，∴t2∈[0,1]，∴t∈[－1,1]． 2．(2