80分] 12+4标准练(一)-2020高考文科数学【步步高】大二轮22题逐题特训(通用版)

[80分] 12 ＋4标准练(一) 1．已知集合A＝{x∈Z|x2－3x－4≤0}，B＝{x|0 b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b6．(2019·湖州三校统考)设函数f(x)＝x2ln 1＋x1－x，则函数f(x)的图象可能为(　　)
答案　C
汇总　定义域为(－1,1)．
因为f(－x)＝x2ln 1－x1＋x＝－x2ln 1＋x1－x＝－f(x)，
所以排除B，D，
又f?\a\vs4\al\co1(\f(12))＝14ln 3>0.故C正确．
7．(2019·全国Ⅲ)已知F是双曲线C：x24－y25＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　　)
A.32 B.52 C.72 D.92
答案　B
汇总　由F是双曲线x24－y25＝1的一个焦点，
知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.
不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，
则\r(x\o\al(220)x\o\al(20y\o\al(205)＝1，解得x\o\al(25692259)，
所以P\a\vs4\al\co1(\f(2\r(1453)，
所以S△OPF＝12|OF|·y0＝12×3×53＝52.
8．(2019·凯里市第一中学模拟)函数f(x)＝log3|x|－|sin πx|在区间[－2,0)∪(0,3]上零点的个数为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　B
汇总　令f(x)＝0，所以log3|x|＝|sin πx|，
在同一坐标系下作出函数g(x)＝log3|x|(x≠0)和h(x)＝|sin πx|(x≠0)在区间[－2,0)∪(0,3]的图象，
观察图象得两函数在[－2,0)上有两个交点，在(0,3]上有4个交点，
所以函数f(x)＝log3|x|－|sin πx|在区间[－2,0)∪(0,3]上零点的个数为6.
9．(2019·济宁模拟)已知正项等比数列{an}满足：a2a8＝16a5，a3＋a5＝20，若存在两项am，an使得aman＝32，则1m＋4n的最小值为(　　)
A.34 B.910 C.32 D.95
答案　A
汇总　因为数列{an}是正项等比数列，
a2a8＝a25＝16a5，
所以a5＝16，
又a3＋a5＝20，
所以a3＝4，
所以q＝2，a1＝1，
所以an＝a1qn－1＝2n－1，
因为aman＝32，
所以2m－12n－1＝210，即m＋n＝12，
所以1m＋4n＝112(m＋n)\a\vs4\al\co1(\f(14n)＝112\a\vs4\al\co1(5＋\f(n4mn)
≥112\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(n4mn))＝34(m>0，n>0)，
当且仅当n＝2m，即m＝4，n＝8时“＝”成立，
所以1m＋4n的最小值为34.
10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其尺寸如图所示，且2a＋b＝52(a>0，b>0)，则此三棱锥外接球表面积的最小值为(　　)
A.17π4 B.21π4 C．4π D．5π
答案　B
汇总　由已知条件及三视图得，
此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD－A1B1C1D1的四个顶点，即为三棱锥A－CB1D1，且长方体ABCD－A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，a，b，
所以此三棱锥的外接球即为长方体ABCD－A1B1C1D1的外接球，
半径为22＋a2＋b2)2＝4＋a2＋b2)2，
所以三棱锥外接球的表面积为
4π\a\vs4\al\co1(\f(\r(4＋a2＋b2)2))2＝π\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋a2＋b2)
＝5π(a－1)2＋21π4，
当且仅当a＝1，b＝12时，三棱锥外接球的表面积取得最小值21π4.
11．(2019·马鞍山质检)已知圆C1，C2，C3是同心圆，半径依次为1,2,3，过圆C1上点M作圆C1的切线交圆C2于A，B两点，P为圆C3上任一点，则→·→的取值范围为(　　)
A．[－8，－4] B．[0,12]
C．[1,13] D．[4,16]
答案　C
汇总　设同心圆的圆心为O，由切线性质可知，OM⊥AB，
又因为过圆C1上点M作圆C1的切线交圆C2于A，B两点，
所以OA＝OB＝2，OM＝1，
在Rt△OAM中，sin∠OAB＝OMOA＝12，
∴∠OAB＝π6，根据OA＝OB＝2，
可知∠OAB＝∠OBA＝π6 ∴∠AOB＝2π3，
→·→＝(→＋→)·(→＋→)
＝|→|2＋→·→＋→·→＋→·→
＝9＋→·(→＋→)＋|→|·|→|·cos2π3
＝7－→·(→＋→)，
∵OM⊥AB，OA＝OB，
∴M是AB的中点，
根据向量加法的几何意义得 →＋→＝2→，
代入上式得，
→·→＝7－→·(→＋→)＝7－2→·→
＝7－2×|→|×|→|cos〈→，→〉
＝7－6cos〈→，→〉，
∵〈→，→〉∈[0，π]，
∴cos〈→，→〉∈[－1,1]，
∴→·→∈[1,13]．
12．已知点P是曲线y＝sin x＋ln x上任意一点，记直线OP(O为坐标原点)的斜率为k，则(　　)
A．至少存在两个点P使得k＝－1
B．对于任意点P都有k<0
C．对于任意点P都有k<1
D．存在点P使得k≥1
答案　C
汇总　任意取一正实数x，
一方面y＝sin x＋ln x≤ln x＋1，
另一方面容易证ln x＋1≤x成立，
所以y＝sin x＋ln x≤x，
因为y＝sin x＋ln x≤ln x＋1与ln x＋1≤x中两个等号成立的条件不一样，
所以y＝sin x＋ln x所以k<1，C正确，D错误；
当π2≤x<π时，y＝sin x＋ln x>0，
所以k>0，排除B；
对于A选项，至少存在两个点P使得k＝－1，
即sin x＋ln xx＝－1至少存在两解，
亦即sin x＋ln x＋x＝0至少存在两解，
(sin x＋ln x＋x)′＝cos x＋1x＋1>0恒成立，
所以sin x＋ln x＋x＝0至多存在一解，故排除A.
13．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高