突破练(八) 不等式选讲-2020高考文科数学【步步高】大二轮22题逐题特训(通用版)
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(2)若x∈(－∞，0]，由(1)知函数f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为3，
各部分所在直线的斜率的最小值为－3，
故当且仅当a≤－3且b≥3时，x∈(－∞，0]时，不等式f(x)≤ax＋b恒成立，
所以－b≤－3，所以a－b≤－6，
故a－b的最大值为－6.
5．(2019·衡阳联考)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)若f(x)的最小值为3，求实数a的值；
(2)若a＝2时，不等式f(x)≤4的解集为A，当m，n∈A时，求证：|mn＋4|≥2|m＋n|.
(1)解 因为f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)| ＝|a＋2|，
当且仅当(x＋a)(x－2)≤0时，取等号．
所以|a＋2|＝3，解得a＝1或－5.
(2)证明 当a＝2时，f(x)＝|x＋2|＋|x－2|＝－2x，x<－2，4，－2≤x<2，2x，x≥2，
当x<－2时，由f(x)≤4，得－2x≤4，解得x≥－2；
又x<－2，所以不等式无实数解；
当－2≤x<2时，f(x)≤4恒成立，所以－2≤x<2；
当x≥2时，由f(x)≤4，得2x≤4，解得x＝2；
所以f(x)≤4的解集为A＝[－2,2]．
(mn＋4)2－4(m＋n)2＝(m2n2＋8mn＋16)－4(m2＋n2＋2mn)
＝m2n2＋16－4m2－4n2＝(m2n2－4m2)＋(16－4n2) ＝(m2－4)(n2－4)．
因为m，n∈[－2,2]，所以m2－4≤0，n2－4≤0，
所以(mn＋4)2－4(m＋n)2≥0，
即(mn＋4)2≥4(m＋n)2，所以|mn＋4|≥2|m＋n|.
(八)不等式选讲 1．已知函数f(x)＝|2x＋a|－|x－3|(a∈R)． (1)若a＝－1，求不等式f(x)＋1>0的解集； (2)已知a>0，若f(x )＋3a>2对于任意x∈R 恒成立， 求a的取值范围． 解 (1)因为a＝－1，所以f(x)＝ 所以不等式f(x)＋1>0等价于或或 解得x1. 所以不等式f(x)＋1>0的解集为 {x|x1}． (2)因为a>0，所以f(x)＝ 根据函数的单调性可知函数f(x)的最小值为f?＝－－3， 因为f(x)＋3a>2恒 成立，所以－－3＋3 a>2， 解得a>2. 所以实数a的取值范围是(2，＋∞)． 2．(2019·河南省百校联盟考试)设函数f(x)＝|2x－1|－，?a，b∈[1，＋∞)，|a＋b|≤m|ab＋1|. (1)解不等式f(x )≤2； (2)?x∈R，证明：f(x)≥－1－m. (1)解 因为f(x)＝ 根据题意，得或 或解得－≤x≤. 故解集为. (2)证明 当x∈时，函数f(x)单调递减， 当x∈时，函数f(x)单调
其图象如图：(2)若x∈(－∞，0]，由(1)知函数f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为3，
各部分所在直线的斜率的最小值为－3，
故当且仅当a≤－3且b≥3时，x∈(－∞，0]时，不等式f(x)≤ax＋b恒成立，
所以－b≤－3，所以a－b≤－6，
故a－b的最大值为－6.
5．(2019·衡阳联考)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)若f(x)的最小值为3，求实数a的值；
(2)若a＝2时，不等式f(x)≤4的解集为A，当m，n∈A时，求证：|mn＋4|≥2|m＋n|.
(1)解 因为f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)| ＝|a＋2|，
当且仅当(x＋a)(x－2)≤0时，取等号．
所以|a＋2|＝3，解得a＝1或－5.
(2)证明 当a＝2时，f(x)＝|x＋2|＋|x－2|＝－2x，x<－2，4，－2≤x<2，2x，x≥2，
当x<－2时，由f(x)≤4，得－2x≤4，解得x≥－2；
又x<－2，所以不等式无实数解；
当－2≤x<2时，f(x)≤4恒成立，所以－2≤x<2；
当x≥2时，由f(x)≤4，得2x≤4，解得x＝2；
所以f(x)≤4的解集为A＝[－2,2]．
(mn＋4)2－4(m＋n)2＝(m2n2＋8mn＋16)－4(m2＋n2＋2mn)
＝m2n2＋16－4m2－4n2＝(m2n2－4m2)＋(16－4n2) ＝(m2－4)(n2－4)．
因为m，n∈[－2,2]，所以m2－4≤0，n2－4≤0，
所以(mn＋4)2－4(m＋n)2≥0，
即(mn＋4)2≥4(m＋n)2，所以|mn＋4|≥2|m＋n|.
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