第二章 函数的概念与基本初等函数I 第七节 幂函数-2020高考数学考点梳理与题型解析 文科
第二章 函数的概念与基本初等函数I 第七节 幂函数-2020高考数学考点梳理与题型汇总 文科，扫描并关注下面的二维码，获取相关答案！
1 时，函数在区间[t，t＋1]上单调递增，
f(x)max＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)－1＝t2－2.
综上所述，t≤
1
2
时，所求最大值为 t2－2t－1；t>
1
2
时，所求最大值为 t2－2.
第七节 幂函数
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一、基础知识
1．幂函数的概念
一般地，形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 x是自变量，α为常数．
幂函数的特征
(1)自变量 x处在幂底数的位置，幂指数 α为常数；
(2)xα的系数为 1；
(3)只有一项．
2．五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性
质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x
1
2
y＝x
－1
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增
(－∞，0)
减，
(0，＋∞)增
增 增
(－∞，0)和
(0，＋∞)减
公共点 (1,1)
二、常用结论
对于形如 f(x)＝x
n
m
(其中 m∈N*，n∈Z，m与 n互质)的幂函数：
(1)当 n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于 y轴对称；
(2)当 m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当 m为偶数时，x>0(或 x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限
及原点处)．
考点一 幂函数的图象与性质
[典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数 y＝f(x)的图象经过点(3，
3
3)，则 f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
高中数学解题探讨 QQ 群：8 0 7 2 3 7 8 2 0
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B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
(2)已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)x
2 3－n n
(n∈Z)的图象关于 y轴对称，且在(0，＋∞)上是
减函数，则 n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1 或 2
[汇总] (1)设 f(x)＝xα，将点(3，
3
3)代入 f(x)＝xα，解得 α＝
1
3
，所以 f(x)＝x
1
3 ，可知函
数 f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选 C.
(2)∵幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)x
2 3－n n
在(0，＋∞)上是减函数，
∴
??
?
??
n2＋2n－2＝1，
n2－3n<0，
∴n＝1，
又 n＝1 时，f(x)＝x
－2 的图象关于 y轴对称，故 n＝1.
[答案] (1)C (2)B
[解题技法] 幂函数 y＝xα的主要性质及解题策略
(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．
(2)当 α>0 时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当 α<0 时，
幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．
(3)当 α为奇数时，幂函数为奇函数；当 α为偶数时，幂函数为偶函数．
(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的
符号和其他性质确定幂函数的汇总式、参数取值等．
[题组训练]
1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( )
A．y＝x
－4 B．y＝x
－1
C．y＝x2 D．y＝x
1
3
汇总：选 A 函数 y＝x
－4 为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数 y＝x
－1 为奇
函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数 y＝x2 为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；
函数 y＝x
1
3 为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
2.[口诀第2、3、4句]已知当 x∈(0,1)时，函数 y＝xp的图象在直线 y＝x的上方，则 p的
取值范围是________．
汇总：当 p>0 时，根据题意知 p<1，所以 0b＝?
?
?
?1
5
2
3 ，因为 y＝?
?
?
?1
2
x是
减函数，所以 a＝?
?
?
?1
2
2
3 b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
汇总：选 B 因为 y＝x
2
5 在第一象限内为增函数，所以 a＝?
?
?
?3
5
2
5 >c＝?
?
?
?2
5
2
5 ，因为 y＝?
?
?
?2
5
x是减函数，所以 c＝?
?
?
?2
5
2
5 >b＝?
?
?
?2
5
3
5 ，所以 a>c>b.
2．若(a＋1)
1
2 <(3－2a)
1
2 ，则实数 a的取值范围是________．
汇总：易知函数 y＝x
1
2 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以
??
?
?
?
a＋1≥0，
3－2a≥0，
a＋1<3－2a，
解得－1≤a<
2
3
.
答案：?
?
?
?－1，
2
3
[课时跟踪检测]
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1．若幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则 f(8)的值为( )
A．4 B. 2
C．2 2 D．1
汇总：选 C 设 f(x)＝xn，由条件知 f(4)＝2，所以 2＝4n，n＝
1
2
，
所以 f(x)＝x
1
2 ，f(8)＝8
1
2 ＝2 2.
2．若幂函数 f(x)＝xk在(0，＋∞)上是减函数，则 k可能是( )
A．1 B．2
C.
1
2
D．－1
汇总：选 D 由幂函数的性质得 k<0，故选 D.
3．已知幂函数 f(x)＝(m2－3m＋3)xm
＋1 为偶函数，则 m＝( )
A．1 B．2
C．1 或 2 D．3
汇总：选 A ∵函数 f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即 m2－3m＋2＝0，解得 m＝1 或
m＝2.当 m＝1 时，幂函数 f(x)＝x2 为偶函数，满足条件；当 m＝2 时，幂函数 f(x)＝x3 为奇函
数，不满足条件．故选 A.
4．(2018·邢台期末)已知幂函数 f(x)的图象过点?
?
?
?2，
1
4 ，则函数 g(x)＝f(x)＋
x2
4
的最小值为
( )
A．1 B．2
C．4 D．6
汇总：选 A 设幂函数 f(x)＝xα.
∵f(x)的图象过点?
?
?
?2，
1
4 ，∴2
高中数解题探讨 QQ 群：8 0 7 2 3 7 8 2 0 第 102 页/共 825页 对称轴为 x＝－ 3 2 ∈[ －2,3] ， ∴f( x) min ＝f ? ? ? ? － 3 2 ＝ 9 4 － 9 2 －3 ＝－ 21 4 ， f( x) max ＝ f(3) ＝15 ， ∴函数 f( x) 的值域为 ? ? ? ? － 21 4 ，15 . (2) ∵函数 f( x) 的对称轴为 x ＝－ 2 a －1 2 . ①当－ 2 a －1 2 ≤1，即 a ≥－ 1 2 时， f( x) max ＝ f(3) ＝6 a ＋3 ， ∴6 a ＋3 ＝1 ，即 a ＝－ 1 3 ，满足题意； ②当－ 2 a －1 2 ＞1，即 a ＜－ 1 2 时， f( x) max ＝ f( －1) ＝－2 a －1 ， ∴－2 a －1 ＝1 ，即 a ＝－1 ，满足题意． 综上可知，a ＝－ 1 3 或－1. 4 ．求函数 y ＝x 2 －2 x －1 在区间[t ，t ＋1]( t ∈R) 上 的最大值．
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