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第二章 函数的概念与基本初等函数I 第七节 幂函数-2020高考数学考点梳理与题型解析 文科

高三试卷 2020-02-17 20:07:38 0
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高中数解题探讨 QQ 群:8 0 7 2 3 7 8 2 0 第 102 页/共 825页 对称轴为 x=- 3 2 ∈[ -2,3] , ∴f( x) min =f ? ? ? ? - 3 2 = 9 4 - 9 2 -3 =- 21 4 , f( x) max = f(3) =15 , ∴函数 f( x) 的值域为 ? ? ? ? - 21 4 ,15 . (2) ∵函数 f( x) 的对称轴为 x =- 2 a -1 2 . ①当- 2 a -1 2 ≤1,即 a ≥- 1 2 时, f( x) max = f(3) =6 a +3 , ∴6 a +3 =1 ,即 a =- 1 3 ,满足题意; ②当- 2 a -1 2 >1,即 a <- 1 2 时, f( x) max = f( -1) =-2 a -1 , ∴-2 a -1 =1 ,即 a =-1 ,满足题意. 综上可知,a =- 1 3 或-1. 4 .求函数 y =x 2 -2 x -1 在区间[t ,t +1]( t ∈R) 上 的最大值.

1-t,即 1 2 1 时,函数在区间[t,t+1]上单调递增, f(x)max=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)-1=t2-2. 综上所述,t≤ 1 2 时,所求最大值为 t2-2t-1;t> 1 2 时,所求最大值为 t2-2. 第七节 幂函数 第 103 /共 825页 一、基础知识 1.幂函数的概念 一般地,形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数 x是自变量,α为常数. 幂函数的特征 (1)自变量 x处在幂底数的位置,幂指数 α为常数; (2)xα的系数为 1; (3)只有一项. 2.五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性 质 y=x y=x2 y=x3 y=x 1 2 y=x -1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (-∞,0) 减, (0,+∞)增 增 增 (-∞,0)和 (0,+∞)减 公共点 (1,1) 二、常用结论 对于形如 f(x)=x n m (其中 m∈N*,n∈Z,m与 n互质)的幂函数: (1)当 n为偶数时,f(x)为偶函数,图象关于 y轴对称; (2)当 m,n都为奇数时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称; (3)当 m为偶数时,x>0(或 x≥0),f(x)是非奇非偶函数,图象只在第一象限(或第一象限 及原点处). 考点一 幂函数的图象与性质 [典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数 y=f(x)的图象经过点(3, 3 3),则 f(x)是( ) A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 高中数学解题探讨 QQ 群:8 0 7 2 3 7 8 2 0 第 104 页/共 825页 B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 C.奇函数,且在(0,+∞)上是增函数 D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 (2)已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)x 2 3-n n (n∈Z)的图象关于 y轴对称,且在(0,+∞)上是 减函数,则 n的值为( ) A.-3 B.1 C.2 D.1 或 2 [汇总] (1)设 f(x)=xα,将点(3, 3 3)代入 f(x)=xα,解得 α= 1 3 ,所以 f(x)=x 1 3 ,可知函 数 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选 C. (2)∵幂函数 f(x)=(n2+2n-2)x 2 3-n n 在(0,+∞)上是减函数, ∴ ?? ? ?? n2+2n-2=1, n2-3n<0, ∴n=1, 又 n=1 时,f(x)=x -2 的图象关于 y轴对称,故 n=1. [答案] (1)C (2)B [解题技法] 幂函数 y=xα的主要性质及解题策略 (1)幂函数在(0,+∞)内都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1). (2)当 α>0 时,幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)内单调递增;当 α<0 时, 幂函数的图象经过点(1,1),且在(0,+∞)内单调递减. (3)当 α为奇数时,幂函数为奇函数;当 α为偶数时,幂函数为偶函数. (4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同,解题中要善于根据幂指数的 符号和其他性质确定幂函数的汇总式、参数取值等. [题组训练] 1.[口诀第3、4、5句]下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的为( ) A.y=x -4 B.y=x -1 C.y=x2 D.y=x 1 3 汇总:选 A 函数 y=x -4 为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减;函数 y=x -1 为奇 函数,且在区间(0,+∞)上单调递减;函数 y=x2 为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增; 函数 y=x 1 3 为奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增. 2.[口诀第2、3、4句]已知当 x∈(0,1)时,函数 y=xp的图象在直线 y=x的上方,则 p的 取值范围是________. 汇总:当 p>0 时,根据题意知 p<1,所以 0b=? ? ? ?1 5 2 3 ,因为 y=? ? ? ?1 2 x是 减函数,所以 a=? ? ? ?1 2 2 3 b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 汇总:选 B 因为 y=x 2 5 在第一象限内为增函数,所以 a=? ? ? ?3 5 2 5 >c=? ? ? ?2 5 2 5 ,因为 y=? ? ? ?2 5 x是减函数,所以 c=? ? ? ?2 5 2 5 >b=? ? ? ?2 5 3 5 ,所以 a>c>b. 2.若(a+1) 1 2 <(3-2a) 1 2 ,则实数 a的取值范围是________. 汇总:易知函数 y=x 1 2 的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数, 所以 ?? ? ? ? a+1≥0, 3-2a≥0, a+1<3-2a, 解得-1≤a< 2 3 . 答案:? ? ? ?-1, 2 3 [课时跟踪检测] 高中数学解题探讨 QQ 群:8 0 7 2 3 7 8 2 0 第 106 页/共 825页 1.若幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则 f(8)的值为( ) A.4 B. 2 C.2 2 D.1 汇总:选 C 设 f(x)=xn,由条件知 f(4)=2,所以 2=4n,n= 1 2 , 所以 f(x)=x 1 2 ,f(8)=8 1 2 =2 2. 2.若幂函数 f(x)=xk在(0,+∞)上是减函数,则 k可能是( ) A.1 B.2 C. 1 2 D.-1 汇总:选 D 由幂函数的性质得 k<0,故选 D. 3.已知幂函数 f(x)=(m2-3m+3)xm +1 为偶函数,则 m=( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.3 汇总:选 A ∵函数 f(x)为幂函数,∴m2-3m+3=1,即 m2-3m+2=0,解得 m=1 或 m=2.当 m=1 时,幂函数 f(x)=x2 为偶函数,满足条件;当 m=2 时,幂函数 f(x)=x3 为奇函 数,不满足条件.故选 A. 4.(2018·邢台期末)已知幂函数 f(x)的图象过点? ? ? ?2, 1 4 ,则函数 g(x)=f(x)+ x2 4 的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.6 汇总:选 A 设幂函数 f(x)=xα. ∵f(x)的图象过点? ? ? ?2, 1 4 ,∴2

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