第二章 函数的概念与基本初等函数I 第三节 函数的奇偶性与周期性-2020高考数学考点梳理与题型解析 文科

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第 59 /共 825页 第三节 函 数的 奇 偶 性与周 期 性 一、基础知 1 ．函数的奇 偶性 ? 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数 f( x) 的定义域内任意一个 x 都有 f( －x) ＝f( x) ? ，那 么函数 f( x) 是偶函数 都有 f( －x) ＝－f( x) ? ，那 么函数 f( x) 是奇函数 图象特征 关于 y 轴对 称 关于原点对称 ?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． ?若 f( x) ≠0 ，则奇( 偶) 函 数定义的等价形式如下： (1) f( －x) ＝f( x) ?f( －x) －f( x) ＝0 ? f ( －x ) f ( x ) ＝1 ?f( x) 为偶函数； (2) f( －x) ＝－f( x) ?f( －x) ＋f( x) ＝0 ? f ( －x ) f ( x ) ＝－1 ?f( x) 为奇 函数． 2 ．函数的周 期性 (1) 周期函数 对于函数 f( x) ， 如果存在一个非零常数 T ， 使得当 x 取定义

0 的图象如图所示，图象关于 y轴对称， 故 f(x)为偶函数． 法二：定义法 易知函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 当 x>0 时，f(x)＝x2－x，则当 x<0 时，－x>0，故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当 x<0 时，f(x)＝ x2＋x，则当 x>0 时，－x<0，故 f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数． 法三：f(x)还可以写成 f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故 f(x)为偶函数． [题组训练] 1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A．y＝tan? ? ? ?x＋ π 4 B．y＝x 2＋e|x| C．y＝xcos x D．y＝ln|x|－sin x 汇总：选 B 对于选项 A，易知 y＝tan? ? ? ?x＋ π 4 为非奇非偶函数；对于选项 B，设 f(x)＝x 2 ＋e|x|，则 f(－x)＝(－x)2＋e| －x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以 y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项 C，设 f(x) ＝xcos x，则 f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以 y＝xcos x为奇函数；对于选项 D， 设 f(x)＝ln|x|－sin x，则 f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以 y ＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选 B. 2．设函数 f(x)＝ ex－e －x 2 ，则下列结论错误的是( ) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 汇总：选 D ∵f(x)＝ ex－e －x 2 ， 则 f(－x)＝ e －x－ex 2 ＝－f(x)． ∴f(x)是奇函数． 高中数学解题探讨 QQ 群：8 0 7 2 3 7 8 2 0 第 62 页/共 825页 ∵f(|－x|)＝f(|x|)， ∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数． 考点二 函数奇偶性的应用 [典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数 y＝f(x)是 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝2x，则 当 x>0 时，f(x)＝( ) A．－2x B．2 －x C．－2 －x D．2x (2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数 f(x)＝a－ 2 ex＋1 (a∈R)是奇函数，则函数 f(x)的值域为 ( ) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－3,3) D．(－4,4) [汇总] (1)当 x>0 时，－x<0，∵x<0 时，f(x)＝2x，∴当 x>0 时，f(－x)＝2 －x.∵f(x)是 R 上的奇函数，∴当 x>0 时，f(x)＝－f(－x)＝－2 －x. (2)法一：由 f(x)是奇函数知 f(－x)＝－f(x)，所以 a－ 2 e －x＋1 ＝－a＋ 2 ex＋1 ，得 2a＝ 2 ex＋1 ＋ 2 e －x＋1 ，所以 a＝ 1 ex＋1 ＋ ex ex＋1 ＝1，所以 f(x)＝1－ 2 ex＋1 .因为 ex＋1>1，所以 0< 1 ex＋1 <1， －1<1－ 2 ex＋1 <1，所以函数 f(x)的值域为(－1,1)． 法二：函数 f(x)的定义域为 R，且函数 f(x)是奇函数，所以 f(0)＝a－1＝0，即 a＝1，所 以 f(x)＝1－ 2 ex＋1 .因为 ex＋1>1，所以 0< 1 ex＋1 <1，－1<1－ 2 ex＋1 <1，所以函数 f(x)的值域为 (－1,1)． [答案] (1)C (2)A [解题技法] 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求汇总式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构 造关于 f(x)的方程(组)，从而得到 f(x)的汇总式． 第 63 /共 825页 (3)求函数汇总式中参数的值 利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等 性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． (4)画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性． [题组训练] 1．(2019·贵阳检测)若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝log2(x＋2)－ 1，则 f(－6)＝( ) A．2 B．4 C．－2 D．－4 汇总：选 C 根据题意得 f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2. 2．已知函数 f(x)为奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2－x，则当 x<0 时，函数 f(x)的最大值为 ________． 汇总：法一：当 x<0 时，－x>0，所以